Ряды Фурье: Типовой расчёт по разделу высшей математики

Гомель 2003

1. Дана функция  в интервале . Разложить эту функцию:

а) в ряд Фурье по синусам;

б) в ряд Фурье по косинусам.

1) ; .

2) ; .

3)  .

4) ; .

Решение.

1) ; .

а) Разложим функцию  в ряд Фурье по синусам:

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по синусам: .

б) Разложим функцию  в ряд Фурье по косинусам:

 .

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по косинусам: .

2) ; .

а) Разложим функцию  в ряд Фурье по синусам:

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по синусам: .

б) Разложим функцию  в ряд Фурье по косинусам:

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по косинусам: .

 

3)  .

а) Разложим функцию  в ряд Фурье по синусам:

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по синусам:

б) Разложим функцию  в ряд Фурье по косинусам:

 

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по косинусам: .

4) ; .

а) Разложим функцию  в ряд Фурье по синусам:

.

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по синусам:

б) Разложим функцию  в ряд Фурье по косинусам:

. .

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье по косинусам:

.

2. Разложить в ряд Фурье функцию , изображённую на рисунке.

(на данном графике период  взят равным единице, а  - тоже единице).

Решение.

Запишем эту функцию:

 Разложим её в ряд Фурье:

Следовательно, исходная функция примет вид в соответствии с разложением в ряд Фурье:

.

3. Представить тригонометрическим многочленом третьего порядка функцию , заданную таблицей:

Решение:

Далее приводится листинг программы на языке C/C++:

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <iostream.h>

const float y[]={0,10,20,30,36,50,40,30,10,20,30,50,40,30};

void main(void)

{

float a[13],b[13],x[13],g[13],s,q,c;

for (int i=1;i<=13;i++)

     {

     x[i]=s;s=s+M_PI/6;

     }

for (i=1;i<=12;i++) q=q+y[i];

q=q/6;

for (int k=1;k<=4;k++)

     {

     s=0;c=0;

     for (int i=1;i<=12;i++)

           {

           s=s+y[i]*cos(k*x[i]);

           c=c+y[i]*sin(k*x[i]);

        }

    a[k]=s/6; b[k]=c/6;

    }

cout<<"x[i]    y[i]    g[i]\n";

for (i=1;i<=13;i++)

     {g[i]=q/2;

     for (int k=1;k<=4;k++) g[i]=g[i]+a[k]*cos(k*x[i])+b[k]*sin(k*x[i]);

     printf("%.3f    %.0f     %.3f\n",x[i],y[i],g[i]);}

}

Результат выполнения программы: