Ответы на экзаменационные билеты № 1-9 по дисциплине "Высшая математика" (Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Вычисление криволинейного интеграла II-го рода)

Билет 1

1. Интеграл по фигуре и его свойства.

2. Линейная независимость функций. Определитель Вронского.

Опр: Функции  наз. линейно-независимыми на , если только при  выполняется равенство: . В противном случае функции явл. линейно-зависимыми.

Теорема: Если функции  линейно-зависимы на , то определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке :

.

Док-во: так как функции  линейно-зависимы на , то по определению на этом отрезке справедливо тождество , причем не все равны нулю.

Продифференцируем это тождество  раз:

при любом получаем линейную однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных . Поскольку эта система имеет ненулевое решение (не все равны нулю), то как известно, определитель ее равен нулю (из теоремы Крамера). Следовательно, определитель системы (опр. Вронского) равен нулю в каждой точке  .

3.

4. Решение нормальной системы n-ДУ I-го порядка методом Эйлера.

Опр: систему ДУ  наз. нормальной сист. ДУ.

5.

Билет 2

1. Вычисление криволинейного интеграла I-го рода.

 КРИ-1 равен . Если кривая кусочно-гладкая, а функция на ней непрерывна, то данный интеграл существует.

1)  Пусть кривая плоская и задана уравнением , , где  – диф. функция, тогда:  , в итоге получим : .

2)  – плоская кривая, заданная уравнением: , , тогда:

3)  – плоская кривая, заданная параметр. ур-ями: ,  : ;  .

4)  – плоская кривая, заданная в полярных координатах

, :

.

5)  – пространственная кривая , заданная параметрическими уравнениями ,:  .

2. Поток векторного поля.

Поток – количество жидкости (газа) протекающее через ориентированную поверхность  в единицу времени.

Пусть в каждой точке поверхности  задана векторная функция: ,

– поток через , с точностью до бесконечно малых элементарный поток будет равен  – произведение проекции на нормаль вектора скорости на площадь поверхности.

, Пусть , тогда в пределе получаем:

ОПР: Предел , не зависящий от способа построения суммы наз. поверхностным интегралом второго рода от векторной функции по ориентированной поверхности и обозначают:  , механический смысл которого – поток.

В координатной форме : .

Билет 3

1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   - непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

2.

3.

4. Уравнения, разрешенные относительно производной порядка n : .

5. Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного ДУ.  Пусть=l₁y₁+…+l_ny_n (l_i–произвольные постоянные), общее решение однородного уравнения L(y)=0(2) y^*–частное решение неоднородного уравнения  yⁿ+a₁(x)y^(n-1)+..+a_n-1(x) +a_n(x)y=f(x)(1), тогда общее решение уравнения (1) имеет вид (3).

Доказательство: 1) L()=L()+L()=f(x)  c_i

                             2) Рассмотрим начальное условие (4)

Покажем, что любое решение задачи Коши (1),(4) может быть получено из формулы (3) при подходящих значениях c_i=c_i⁰, i=. Решение задачи Коши (1), (4) обозначим y⁰(x), покажем что его можно получить из формулы (3).

=,  по свойству L()=L()-L()=0 решение однородного уравнения (2). Поскольку –общее решение уравнения (2), то при подходящих значениях l_i⁰  будем иметь

Билет 4

1. Поверхностный интеграл ΙΙ-го рода и его свойства. Если поверхность задана уравнением   и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.

2. Формула Стокса. Рассмотрим кусочно-гладкую поверхность S ограниченную замкнутым контуром L. Выберем нормаль n и направление обхода контура l так, чтобы со стороны нормали обход выполнялся против часовой стрелки. Пусть в точках поверхности S, включая границу l, определена непрерывная векторная