Описание метода половинного деления

Описание   метода половинного деления

Решается уравнение вида     e^x - e^-x -2 = 0                           (1)

с заданной точностью

Значение х, при котором функция f(  тождественно равна нулю - )=0 называется корнем уравнения (1). А способ нахождения этого значения

х - решением уравнения

Корни данного уравнения предлагается найти методом деления отрезка пополам.

Для этого используем:

1.   Графический способ решения уравнения.

2.   Метод приближенных вычислений: деления отрезка пополам

            При этом приходится решать две задачи:

1.   отделение корней, т.е. отыскание малых областей (границ отрезка

[a ,b], в каждом из которых заключен один и только один корень уравнения)

2.   вычисление корней с заданной точностью.

            При выделении областей (границ отрезка [a ,b]), в которых находятся

действительные корни уравнения (1) , можно воспользоваться следующим свойством: если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f(x) принимает значения противоположных знаков, то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет один корень.

            Определить отрезок [a , b], содержащий один корень, можно графическим способом.

            Решить уравнение графически - это значит найти точку пересечения  графика функций f(x)  с осью 0Х.

Решить уравнение с точностью - значит найти отрезок длиной < на оси 0х, в котором находится корень уравнения. Длина отрезка - есть степень точности .

            Считается, что корень уравнения отделен на отрезке оси 0х, если этот корень содержится на данном отрезке и на этом отрезке других корней нет.

            Решить уравнение с точностью , значит найти разность конечных значений данного отрезка. Эта разность должна быть   (т.е.  в - а ).

            Для того чтобы решить уравнение с заданной точностью применяются методы приближенных вычислений. Мы воспользуемся методом половинного деления.

            При выделении областей, в которых находятся действительные  корни

уравнения (1) можно воспользоваться следующим свойством:

если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f(x) принимает значения противоположных знаков, то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет один корень (т.е. f(a)*f(b) < 0). Или Если функция непрерывна и монотонна на отрезке [a , b]  и принимает  на концах отрезка значения разных знаков, то корень находится внутри этого отрезка.

            Уточнение корня до точности

Если  b - a >, то необходимо сужать интервал, на котором отделен корень для этого применяем метод проб, в частности разновидность этого метода - метод половинного деления (метод деления отрезка пополам).

            Для нахождения корня уравнения f(x) = 0 делят отрезок пополам, т.е. выбирают начальное приближение  равным .  

            Если (x)=0, то х является корнем уравнения. В противном случае выбирают тот из отрезков [ a , x] или  [x,b], на концах которого функция f(x) имеет разные знаки, ибо корень лежит на этой половине. Для случая, изображенного на рис.1. , выбирают интервал [x,b]. Данный интервал вновь делят пополам и выбирают ту половину, на концах которой функция имеет противоположные знаки , и т.д.

            В результате на каком-то  этапе получим либо точный корень уравнения f(x)=0,  либо такой отрезок, внутри которого находится корень уравнения и длина которого меньше   .

 

Алгоритм уточнения корней методом половинного деления.

 

 

                                - вычисление абсциссы середины отрезка (а,в)

 

           

            y = f(x)                        - вычисление значений функции на концах отрезка

z = f(a)

 

                        да

                                                                        y, x

              нет        

 

да                                нет                             

y * z < 0                                                         

b = x

a = x

                                                                       

b                                              - уменьшаем длину отрезка

                                                 ( а,в) путем переноса точки

 "а"  в точку "х".       

 

                            

нет

 

да