Математика \ Прикладная математика

Описание метода половинного деления

Страницы работы

3 страницы (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Описание метода половинного деления

Решается уравнение вида e^x- e^-^x -2 = 0 (1)

с заданной точностью

Значение х, при котором функция f( тождественно равна нулю - )=0 называется корнем уравнения (1). А способ нахождения этого значения

х - решением уравнения

Корни данного уравнения предлагается найти методом деления отрезка пополам.

Для этого используем:

1. Графический способ решения уравнения.

2. Метод приближенных вычислений: деления отрезка пополам

При этом приходится решать две задачи:

1. отделение корней, т.е. отыскание малых областей (границ отрезка

[a ,b], в каждом из которых заключен один и только один корень уравнения)

2. вычисление корней с заданной точностью.

При выделении областей (границ отрезка [a ,b]), в которых находятся

действительные корни уравнения (1) , можно воспользоваться следующим свойством: если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f(x) принимает значения противоположных знаков, то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет один корень.

Определить отрезок [a , b], содержащий один корень, можно графическим способом.

Решить уравнение графически - это значит найти точку пересечения графика функций f(x) с осью 0Х.

Решить уравнение с точностью - значит найти отрезок длиной < на оси 0х, в котором находится корень уравнения. Длина отрезка - есть степень точности .

Считается, что корень уравнения отделен на отрезке оси 0х, если этот корень содержится на данном отрезке и на этом отрезке других корней нет.

Решить уравнение с точностью , значит найти разность конечных значений данного отрезка. Эта разность должна быть (т.е. в - а ).

Для того чтобы решить уравнение с заданной точностью применяются методы приближенных вычислений. Мы воспользуемся методом половинного деления.

При выделении областей, в которых находятся действительные корни

уравнения (1) можно воспользоваться следующим свойством:

если на концах некоторого отрезка непрерывная функция f(x) принимает значения противоположных знаков, то на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет один корень (т.е. f(a)*f(b) < 0). Или Если функция непрерывна и монотонна на отрезке [a , b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то корень находится внутри этого отрезка.

Уточнение корня до точности

Если b - a >, то необходимо сужать интервал, на котором отделен корень для этого применяем метод проб, в частности разновидность этого метода - метод половинного деления (метод деления отрезка пополам).

Для нахождения корня уравнения f(x) = 0 делят отрезок пополам, т.е. выбирают начальное приближение равным .

Если (x)=0, то х является корнем уравнения. В противном случае выбирают тот из отрезков [ a , x] или [x,b], на концах которого функция f(x) имеет разные знаки, ибо корень лежит на этой половине. Для случая, изображенного на рис.1. , выбирают интервал [x,b]. Данный интервал вновь делят пополам и выбирают ту половину, на концах которой функция имеет противоположные знаки , и т.д.

В результате на каком-то этапе получим либо точный корень уравнения f(x)=0, либо такой отрезок, внутри которого находится корень уравнения и длина которого меньше .