Интеграл по фигуре и его свойства. Понятие устойчивости решения системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Билет 17

1. Интеграл по фигуре и его свойства.

2.                                                                                           C 

                                                           B

         A

П=

3.

4. Характеристический многочлен. Решение  линейных ДУ с постоянными коэффициентами в случае различных действительных и комплексных корней.

Многочлен det(λΕ−Α) n-й степени относительно λ  называется характеристическим многочленом матрицы A, A=    . Уравнение     наз. характеристическим уравнением ЛОДУ. Для построения системы решения ЛОДУ надо найти его корни, при этом возможны 4 случая: 1)  –  действительный простой корень, то решение ; 2)   –  действительный корень кратный m, m>1, то решение    3)  –пара комплексно

сопряженных корней им соответствует решение

 4)  комплексно сопряженные корни  кратности m>1, то решение будут                                                                                                                                                                                                                                            

5. Понятие  устойчивости решения системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.  (1) –рассмотрим систему ДУ   .

Определение: Решение системы (1)наз. устойчивым полем Ляпунова при , если для любого  >0 можно указать положительные >0, что при x>x₀ для любого решения системы (1) будет иметь место неравенство <, если имеет место неравенство <. Если кроме того справедливо =0, при достаточно малых значениях , то решениесистемы (1)наз. асимптотически устойчивым при . Лемма: Пусть для некоторого >0 функции определены и непрерывны при x>x₀>+

и . Пусть при тех же существует непрерывно диффириенцируемая функция Ляпунава , которая не отрицательна и равна нулю лишь в начале координат, причем данная функция должна удовлетворять условию, тогдасистемы (1) тождественно является устойчивым. Если кроме того, при тех же y₁, y₂,…y_n имеет место неравенство, где функция некоторая непрерывная функция равная нулю лишь в начале координат, то нулевое решение будет асимптотически устойчивым.

6.

x²+2x+1= 0

2  

1  

;

Ответ: