Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных исходов. Формула Муавра-Лапласа. Мера зависимости между событиями

чтобы предел любой монотонной последовательности множеств из алгебры F принадлежал этой алгебре F.

Последовательность {А} называется монотонной, если " n≥1  или . Тогда  в первом случае и - во втором называют пределом соответствующей последовательности.

Пару объектов Ω и F называют измеримым пространством, обозначают символом (Ω, F). Смысл термина прояснится чуть позже.

Для формализации какой-либо вероятностной задачи надо с. эксперименту приписать измеримое пространство (Ω, F), где Ω- пространство элементарных исходов эксперимента, σ-алгебра F выделяет класс событий – все ω-множества из Ω, не входящие в F, событиями не являются (см. начало 1.3). Выделение того или иного измеримого пространства обусловлено с одной стороны существом рассматриваемой задачи, а с другой – природой множества Ω: далеко не всегда можно определить вероятностную меру на (Ω, F) так, чтобы она имела смысл для любого ω-множества из Ω.

Замечание. Подмножества пространства Ω, не являющиеся событиями, с практической точки зрения представляют собой математическую абстракцию. Само доказательство их существования представляет собой сложную задачу. Поэтому при первоначальном знакомстве с теорией вероятности будем считать, что всякое подмножество Ω входит в σ – алгебру F.

1.6 Вероятность событий

16.1 Классическое определение вероятностей

Ранее мы отметили, что ТВ изучает закономерности с. событий при многократном воспроизведении опытов. Одной из числовых характеристик таких закономерностей призвана служить вероятность событий (в том числе элементарных). Есть несколько определений вероятности, начнем с исторически первого, классической вероятности.

Пусть Ω конечно и содержит n элементов ω₁, ω₂,…ω_n, то есть Ω – дискретное множество. Будем полагать, что все исходы равновозможные. Это понятие в ТВ также первично, оно связано с симметрией проводимого опыта, когда ни один из исходов опыта не имеет никаких преимуществ в появлении перед остальными. Например, во втором опыте нет оснований предпочесть герб решетке и наоборот, если монета симметрична, однородна.

Пусть А – некоторое событие, следовательно, оно состоит из некоторого числа m э. исходов .

Вероятностью события А называется величина:

                                                      Р (А) =  (1.1)

Это и есть классическое определение вероятности события А. В случае дискретного множества Ω σ-алгебра Fсостоит из всех подмножеств множества Ω. По определению вероятности события и учитывая тот факт, что э. события – это также события, получаем Р (ω_k)=, k=1,…,n. Таким образом, все э. события равновероятны.

Пример 8. Пусть в первом опыте событие А – выпадение не менее 5 очков. Этому событию А среди э. событий Ω={ω₁, ω_2, ω₃,…, ω₆} благоприятствуют два э. события (содержатся в событии А), это события ω₅ и ω₆, то есть m=2. Тогда Р (А)=2/6=1/3.

Пример 9. Пусть в третьем опыте событие А – выпадение не менее одного герба. В событие А входят э. события ω₁, ω₃, ω₄, т.е. m=3. Тогда Р (А)=3/4.

Результаты в примерах можно проинтерпретировать следующим образом: поскольку все э. события несовместны и равновероятны, то вероятность события А может быть получена по формуле Р (А)=. Действительно, в примере 1 Р (ω_k)=1/6, k=1,…,6; => Р (А)=Р (ω₅) + Р (ω₆)=2/6=1/3. В примере 2 Р (ω_k)=1/4, k=1,…,4; Р (А)=Р (ω₁) + Р (ω₃) + Р (ω₄)=1/4 · 3=3/4.

Этот факт не случаен, он всегда имеет место, позже он получит обоснование - см. ниже 5-е свойство вероятностей.

Таким образом, вероятность события А можно интерпретировать как выраженную числом возможность появления события А.

Как видим, классическое определение вероятностей есть конструктивное определение – оно не только определяет вероятность события, но и позволяет вычислять ее. Можно отметить некоторые свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

 1. .

 Для невозможного события нет благоприятных случаев, m=0;

 2. .

 Достоверному событию благоприятствуют все случаи, m = n;

 3. .

 Так как , то ;

 4. .

 Если событию А благоприятствуют m элементарных событий из n, то дополнительному событию  благоприятствуют оставшиеся n-m событий. Тогда ;

1.
.  Для несовместных событий  вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей: .

Рассмотрим сначала два события . Среди n элементарных исходов событию  благоприятствуют  случаев, событию - . Тогда несовместным событиям  и  благоприятствуют + случаев, следовательно, событию +  также благоприятствуют + случаев. . Общая формула основывается на рассмотренном случае, так как сумму любого конечного числа несовместных событий можно представить как сумму двух несовместных событий:

=.

1.6.2  Элементы комбинаторики в теории вероятностей

Для того, чтобы вычислять вероятность по формуле (1.1), надо уметь находить числа m и n, и для этого используют методы комбинаторики. Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам. Полученные группы элементов называются соединениями. Они могут отличаться друг от друга числом элементов в них, при одинаковом числе элементов в соединениях они могут отличаться как составом элементов, так и порядком следования элементов. В теории вероятностей, как впрочем и в самой комбинаторике, интересуются не самими соединениями, а их числом.

Основное правило комбинаторики – правило умножения состоит в следующем: пусть требуется выполнить одно за другим К действий, при этом 1-е действие можно выполнить n1 способами, 2-е – n2 способами,…,к-е – nК способами. Тогда все К действий вместе могут быть выполнены n1*n2*…*nК способами.

Пример 10. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза; б) цифры могут повторяться; в) числа должны быть нечетными.

А). Первой цифрой числа может быть любая из 1,2,3,4,5. Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья- 4 способами, четвертая-3 способами. Следовательно, общее число способов- 5*5*4*3=300.

Б). Здесь первая цифра числа также может быть выбрана 5 способами. Для каждой из последующих цифр возможны 6 случаев –0,1,2,3,4,5.

Следовательно, общее число способов – 5*6=1080.

В). Число нечетных чисел равно 5*6*6*3=540.

Для нас будут полезны такие типы соединений как: размещения, перестановки, сочетания.

1.  Размещениями из n элементов по m элементов называют соединения, состоящие из m элементов, взятых из данных n элементов и отличающихся друг от друга или самими элементами или их порядком. Иными словами – это упорядоченные m – элементные подмножества множества, состоящего из n элементов. Число размещений из n элементов по m элементов вычисляется по формуле . Пусть, например, имеются буквы а, b, c. Упорядоченные двумерные подмножества этого множества букв имеют вид ab, ac, ba, bс, ca, cb.

2.  Перестановки – это размещения при m = n. Число перестановок, следовательно, вычисляют по формуле . Из трех букв a, b, c можно составить следующие перестановки: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

3.  Сочетаниями из n элементов по m элементов называют m – элементные соединения, взятые из данных n элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Иначе говоря, это m – элементные неупорядоченные подмножества множества, состоящего из n элементов. Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле . Так, из трех букв a, b, c можно составить такие сочетания по две буквы: ab, ac, bc. В отличие от размещений порядок элементов в них не учитывается.

4.  Размещениями с повторениями из n элементов по m элементов называются соединения по m элементов, причем каждый из m элементов может быть любым из n элементов. Так, из трех букв a, b, c можно составить такие размещения с повторениями по две буквы: аа, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb,cc. Число размещений с повторениями вычисляется по следующей формуле: .

5.  Перестановками с повторениями из n элементов, среди которых имеется n₁ элементов первого типа_,  элементов второго,…,  элементов m-го типа, при этом , называются соединения, содержащие все данные n элементов с указанными числами повторений одинаковых элементов. Все эти соединения отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из n элементов по m элементов с заданными числами повторений находится по формуле: .

       Так, число различных слов, которые можно получить перестановкой букв в слове мама, , вот эти слова: мама, амма, маам, аамм, ммаа, амам.

       Отметим, что если m = 2, то среди n элементов m и n-m элементов первого и второго типов соответственно, следовательно,

. Видимо поэтому иногда наряду с обозначением  встречается обозначение .

       Могут быть и сочетания с повторениями. Из букв a, b, c можно составить такие сочетания с повторениями: aa, ab, ac, bb, bc, cc. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле .

       Пример 11. Две радиостанции могут работать на одной из трех фиксированных частот каждая. Найти вероятность того, что при одновременном и независимом выходе в эфир они будут работать на различных частотах – событие А.

       Независимый выход в эфир здесь означает, что каждая станция выбирает себе частоту работы независимо от того, какие частоты выбрала себе другая. Используем формулу (1.1): . Общее число исходов здесь вычисляется по формуле , так как каждая станция выбирает одну из трех частот независимо от другой: то есть, если первая станция выбрала к-ю частоту, то вторая станция может выбрать при этом любую из трех частот, к=1,2,3. Число   .

Пример 12. По к воздушным целям запускается р ракет, . Каждая ракета независимо от других выбирает себе цель. Выбор любой цели равновозможен. Найти вероятность, что ракеты выберут разные цели – событие А.

       Здесь , так как каждое размещение ракет по целям есть р – элементное соединение, в котором для каждой ракеты выбирается любая из к целей: , так как если рассмотреть благоприятные событию А исходы, то получим схему: первая ракеты выбрала одну из к целей, для второй ракеты остается выбор любой из (к-1) оставшихся целей, для третьей – выбор из (к-2) оставшихся и т.д. Отсюда .

Пример 13. 9 человек выбирают 3 различные экскурсии независимо друг от друга. Выбор каждой экскурсии равновозможен. Найти вероятность, что каждую экскурсию выберет одинаковое число экскурсантов – событие А.

 ,  .

       Пример 14. Партия из L деталей содержит R бракованных. Для контроля из партии выбирают  деталей. Найти вероятность, что среди них будет r бракованных.

       Общее число элементарных исходов , так как по условию задачи в соединениях по  элементов интерес представляют сами элементы, порядок следования безразличен. Для вычисления числа m отметим, что r бракованных выбираются из общего числа R бракованных изделий, остальные