Вычислением несобственного интеграла с помощью вычетов

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=3i

функции .

Тогда

 Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=3i.

Функции

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+25(z²)+144=0, . Следовательно, . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=3i и z=4i функции

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции : . Следовательно, два корня из четырёх находятся в верхней полуплоскости: .

Тогда

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Рассмотрим функцию. Найдём полюсы этой функции: . В данном случае в верхней полуплоскости расположены три полюса из шести:  

Тогда

.

При разложении  на множители было учтено, что . Аналогично,

.

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+6(z²)+25=0, . Число  геометрически расположено во второй четверти комплексной плоскости. Следовательно, один из корней  обязательно будет расположен в первой четверти. Найдём этот корень. Если  Итак, . Тогда .Аналогично, число  геометрически расположено в третьей четверти комплексной плоскости. Следовательно, один из корней  обязательно будет расположен во второй четверти. Это значит, что . Тогда .В данном случае в верхней полуплоскости расположены два простых полюса z₁ и z₃ функции

Тогда

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции . Приравнивая знаменатель к нулю, получим: . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=2i и z=3i функции

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+10(z²)+9=0, . Следовательно, .

В верхней полуплоскости находятся два корня: z₁=i z₂=3i Тогда

.

Следовательно.

Ответ.               

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+17(z²)+16=0, . Следовательно, .

В верхней полуплоскости находятся два корня: z₁=i z₂=4i Тогда

.

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции : . Следовательно, два корня из четырёх находятся в верхней полуплоскости: .

Тогда

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+25(z²)+144=0, . Следовательно, . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=3i и z=4i функции

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции :  . Полагая здесь k=0, 1, 2, находим три корня, лежащие в верхней половине комплекснойплоскости: . Остальные три корня являются сопряжёнными по отношению к найденным корням и находятся в нижней полуплоскости. Таким образом,

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=2i данной функции.

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+10(z²)+9=0, . Следовательно, . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=3i функции

Тогда

Следовательно.

Ответ.  .

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции : . Следовательно, два корня из четырёх находятся в верхней полуплоскости: . Тогда

 Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции :  . Полагая здесь k=0, 1, 2, находим три корня, лежащие в верхней половине комплекснойплоскости: . Остальные три корня являются сопряжёнными по отношению к найденным корням и находятся в нижней полуплоскости. Таким образом,

 . 

 .

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположен один полюс z=i данной функции кратности 3.  Тогда

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположен один полюс z=2i данной функции кратности 3.  Тогда

. Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В верхней полуплоскости расположены два полюса z=3i и z=4i данной функции.

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции : . Следовательно, два корня из четырёх находятся в верхней полуплоскости: .

Тогда

   Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=2i данной функции.

Тогда

 .

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=2i данной функции.

Тогда

 .

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Найдём корни знаменателя функции , решая биквадратное уравнение: (z²)²+25(z²)+144=0, . Следовательно, . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=3i и z=4i функции

Тогда

 

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Знаменатель разлагается на множители . Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса z=i и z=3i данной функции.

Тогда

.

Следовательно.

Ответ. 

Задача 12. Вычислить несобственный  интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции  являются числа . В данном случае в верхней полуплоскости расположен один полюс z=i данной функции кратности 3.

Тогда

  

Следовательно.

Ответ.