Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Свойства функции, непрерывной на отрезке. Непрерывность функции нескольких переменных

7.1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Первое определение непрерывности функции в точке

      Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, называется непрерывной в точке x₀, если в этой точке существует конечный предел функции и он равен значению функции в этой точке:

f(x) = f(x₀).

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Для произвольной точки х из этой окрестности  рассмотрим разность

Dх = х – х₀

и назовем ее приращением аргумента в точке  х₀. Соответ-ствующую разность значений функции

Df(x₀)= f(x) - f(x₀) = f(x₀+Dх) - f(x₀))

назовем приращением функции f(x) в точке х₀,  соответствующим приращению аргумента Dх.

      Рассмотрим основные свойства функции, непрерывной в точке.

      С в о й с т в о  1 (приращение непрерывной функции).  Для того чтобы функция, определенная в окрестности некоторой точки, была непрерывна в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы  бесконечно малому приращению аргумента  соответствовало бесконечно малое  приращение функции.

      Это утверждение следует из равносильности двух предельных равенств:

f(x) = f(x₀)Û  Df(x₀) = 0.

      Это свойство позволяет дать иное определение непрерывности функции в точке, равносильное первому.

Второе определение непрерывности функции в точке

      Функция называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке:

Df(x₀) = 0.

     С в о й с т в о  2 (ограниченность непрерывной функции).                       

Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

      Доказательство следует из ограниченности функции, имеющей конечный предел.

      С в о й с т в о  3  (сохранение знака непрерывной функ-ции). Если функция непрерывна в точке  и имеет в этой точке значение, отличное от нуля, то существует такая окрестность точки, в которой функция сохраняет свой знак.

Доказательство. Пусть для определенности  f(x₀) > 0. В силу непрерывности

f(x) = f(x₀).

 В соответствии с определением предела (п.5.1) это означает, что

"e>0  $d(e)>0:  (х Î U_d(x₀)  Þ  êf(x)- f(x₀) ê< e).

Выбирая e достаточно малым (можно положить, например,  e=1/2 f(x₀)) и замечая, что

êf(x)- f(x₀) ê< e  Û    f(x₀) - e <  f(x)<  f(x₀)+ e,

получаем, что для  х Î U_d(x₀)  справедливо 

f(x₀) - e <  f(x),

При выбранном e

f(x) > 0,5 f(x₀) > 0,

т.е. в каждой точке d-окрестности точки  х₀  значения функции f(x) положительны, что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для случая,  когда   f(x₀) < 0.

       С в о й с т в о  4 (операции над непрерывными функциями). Если функции  f(x) и g(x)  непрерывны в точке    x₀, то функции

f(x) + g(x),    f(x) × g(x),  f(x) / g(x)

непрерывны в этой точке, последняя (частное) при условии, что f(x₀) ¹ 0.

      Доказательство следует непосредственно из теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими конечный предел.

      Напомним, что каждая элементарная функция непре-рывна в каждой внутренней точке множества, на котором она определена.

7.2. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ

      Рассмотрим функцию, которая определена в окрестности точки х₀ , кроме, может быть, самой этой точки.

      О п р е д е л е н и е  1.  Точка х₀   называется  точкой разрыва функции  f(x), если функция не определена в этой точке или если функция определена в ней, но не является непрерывной.

      О п р е д е л е н и е   2.  Точка разрыва функции f(x)называется точкой разрыва 1 рода  (или  точкой конечного разрыва), если в ней существуют конечные односторонние пределы f(x₀-0), f(x₀+0).  В противном случае - точкой разрыва 2 рода.

О п р е д е л е н и е   3. Разность f(x₀+0) - f(x₀-0) одно-сторонних пределов функции в точке разрыва 1 рода называется скачком функции  f(x) в этой точке.

      О п р е д е л е н и е   4.  Точка разрыва 1 рода  называется точкой устранимого разрыва, если в ней скачок равен нулю, т.е.  f(x₀+0) = f(x₀-0).

       П р и м е р 1. Функция

f(x) =

в точке  x₀  = 0имеет устранимый разрыв, т.к. в этой точке функция не определена, имеет в этой точке предел, равный 1 (п.5.8), и, следовательно, ее скачок в этой точке равен нулю.

      П р и м е р  2.  Функция

f(x) =

имеет разрывы во всех токах  x = kp,  где k - целое число,  потому что в каждой такой точке  функция не определена. В точке x = 0 устранимый разрыв, в каждой точке x = kp,  где k - целое число и не равно нулю, - разрыв 2 рода, т.к. в этих точках не существует односторонних конечных пределов.

      П р и м е р  3.  Функция

f(x) = [x],

где  [x] - целая часть  числа  х, имеет разрыв 1 рода  в каждой точке х = k,   k - целое. Скачок функции в каждой такой функции равен 1, кроме точки х = 0. В этой точке скачок равен 2.

7.3. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ,

 НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ

      О п р е д е л е н и е . Функция  f(x) называется непрерывной на множестве  Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

      Обозначение:  f(x) Î C(X). Здесь C(X) - класс функций, непрерывных  на  множестве Х.