Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа

Страницы работы

Содержание работы

ФОРМУЛА  ТЕЙЛОРА

1.  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

      Если функция f(x) дифференцируема в точке хo, то она допускает в окрестности этой точки приближение в виде линейной функции с точностью до бесконечно малой о(х - хo):

f(x) = f(xо) + f¢(xо)(х - хo) + о(х - хo).                        (1)

       Пример 1. Sinx = x + о(х).

       Поставим задачу выбора приближения функции с точностью до БМФ более высокого порядка в классе многочленов в окрестности данной точки:

f(x) =  Pn(x)+ о((х - хo)n).                                  (2)

2.  МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА

     Предположим, что функция f(x) в точке хo имеет производные всех порядков до n-го включительно. Многочлен Pn(x) выберем так, чтобы выполнялись следующие условия:

f(xo) =  Pn(xo),

f ¢(xo) =  Pn¢(xo),

f²(xo) =  Pn²(xo),

                                      . . . . . . . . . . . .

f(n)(xo) =  Pn(n)(xo).                                               (3)

Иначе говоря, значения функции f(x) и ее производных до n-го порядка включительно должны быть равны соответствующим значениям многочлена Pn(x) и его производных.

      Многочлен Pn(x) представим в виде

Pn(x) = ao + a1(х - хo) + a2(х - хo)2 + . . . + an(х - хo)n,             (4)

т.е. расположим его по степеням  х - хo.

      Если в (4) подставить хo и воспользоваться первым из условий (3), то получим: ao = f(xo).

      Дифференцируем (4), получаем

Pn¢(x) = a1 + 2a2(х - хo) + . . . + nan(х - хo)n.                    (5)

Подставляя теперь хo в (5) и пользуясь вторым из условий  (3), по-лучаем: a1 = f ¢(xo).

      Последовательно дифференцируя n раз, аналогично находим все коэффициенты многочлена (4):

ao = f(xo), a1 = f ¢(xo), a2 =  f ²(xo), . . . , an =  f (n)(xo).          (6)

      Многочлен (4), удовлетворяющий условиям (3), имеет коэффициенты (6):

Pn(x) = f(xo) + f ¢(xo)(х - хo) + f²(xo)(х - хo)2 + . . . +  f (n)(xo)(х - хo)n.

      Легко показать, что многочлен, удовлетворяющий условиям (3) единственный и имеет коэффициенты (6).

       Этот многочлен называется многочленом Тейлора (1712, Brook Taylor, 1685-1731) а его частный случай, когда xo = 0, называется многочленом Маклорена (1742,Colin Maclauren, 1698-1746).

      Многочлен Маклорена:

Pn(x) = f(0) + f ¢(0) х + f²(0) х2 + . . . +  f (n)(0) хn.

4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ПЕАНО

      Теорема 1. Если функция f(x) в точке хo имеет производные всех порядков до n-го включительно, то справедлива формула

f(x) =  Pn(x)+ о((х - хo)n),                                  (7)

где  Pn(x) – многочлен Тейлора,  о((х - хo)n) – БМФ более высокого порядка, чем (х - хo)n в окрестности точки xo.

      Доказательство. Докажем, что

Применяя правило Лопиталя последовательно nраз, получаем то, что требовалось доказать.

      Формула (7) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (Giuseppe Peano, 1858-1932).

      Пример 2.  Sinx = xx3/3! + о(х3).

     5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА

      Теорема 2. Если функция в окрестности точки xo  имеет непрерывные производные до  n + 1 порядка включительно, то справедлива формула

f(x) =  Pn(x)+                           (8)

где  Pn(x) – многочлен Тейлора, с – некоторая точка, лежащая между  точками  х  и  хo.

      Доказательство. Обозначим

Rn(x) = f(x) –  Pn(x).

      Рассмотрим отношение двух функций

F(x) = Rn(x)  и  G(x) = (х - хo)n+1

  = .

      Эти функции удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [xo, x],  xo<x,  (или на отрезке [x, xо], если   x< xо). Заметим при этом, что F(xо) = Rn(xо) = 0 и  G(xо) = (хо - хo)n+1 = 0. По формуле Коши имеем:

 =

где с – точка (из теоремы Коши) между точками  х  и  хo. Теперь применим теорему Коши к частному двух функций, стоящих в правой части последней формулы, для отрезка [xo, с],  xo< с,  (или для отрезка [с, xо], если   с < xо). И так далее до получения формулы

 = ,

откуда и получаем требуемое

Rn(x) =  .

      Формула (8) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813).

Пример 3. Sinx = xx3/3! +x5/5! Cos с, где  0 < c < xили x<c<0. Здесь можно оценить точность при замене Sinxна приближенное значение xx3/6: | Sinxxx3/3!| £ x5/120.

1712, Brook Taylor, 1685-1731

1742,Colin Maclauren, 1698-1746

Giuseppe Peano, 1858-1932

Joseph Louis Lagrange, 1736-1813

Похожие материалы

Информация о работе