Применение графического метода при построении оптимального плана работы 2-х погрузчиков на 2-х площадках

Задача 2. Применение графического метода при построении оптимального плана работы 2-х погрузчиков на 2-х площадках

Двум погрузчикам разной мощности за 24 часа требуется погрузить на 1-й площадке , т, на 2-й - , т. 1-й погрузчик на 1-й площадке может погрузить , т/ч, на 2-й - , т/ч. 2-й погрузчик на 1-й площадке - , т/ч, на 2-й - , т/ч. Стоимость работ, связанных с погрузкой 1 т 1-м погрузчиком на 1-й площадке, , ден.ед., на 2-й площадке - , ден.ед. 2-м погрузчиком на 1-й площадке - , ден.ед., на 2-й площадке - , ден.ед. Требуется составить оптимальный план, т.е. определить какой объем работ должен выполнить каждый погрузчик на каждой площадке (т), чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной.

Решение:

1.  Построим математическую модель:

Обозначим через , i,j= объем работ (т) i-го погрузчика на j-й площадке. Тогда целевая функция, выражающая затраты, связанные с выполнением работ, имеет вид:

Z=8+ 8+ 11+ 13 min

При ограничениях:

- на время работы: ;

 (2)

- на выполнение работы: +

- условие не отрицательности: , I,j= 

2. Решим задачу графическим методом. Для этого сведем задачу с 4-мя переменными в задачу с 2-мя переменными:

  min

(1)

(232-)+(170-)2413

 (2)

; (3)

; (4)

Функция Z=8+ 8+ 11+ 13 достигает своего минимума в тех же точках, что и функция :

 =

Построим область допустимых решений:

Областью допустимых решений является многоугольник ABCDEF

Проведем вектор градиентного направления =(4; 6). Для удобства построим 25=(100; 150).

Перпендикулярно  строим линию уровня целевой функции  Z=0. Перемещаем Z=0 в направлении  до крайней точки касания с областью допустимых решений – точки D.

В т. D находится оптимальный план. Для определения координат т. D решим систему уравнений:

109

Тогда ;  ;

Z=3120

Вывод: первый погрузчик должен погрузить 123т. на первой площадке, 170 – на второй площадке; второй погрузчик должен погрузить 109т. на первой площадке. При этом стоимость работ будет минимальной и составит 3120 денежных единиц.