Блочные коды с коррекцией ошибок, страница 2

d (00000,00100) =1; d(00111, 00100)=2; d(11001,00100)=4;d(11110, 00100) = 3.Таким образом, искомое правило коррекции ошибок можно сформулировать так: если полученное кодовое слово с ошибкой, его истинное значение принимается равным кодовому слову, которое находится на минимальном расстоянии Хэмминга от искаженного слова. Это правило применимо только, когда для каждого ошибочного кодового слова имеется только одно реальное кодовое слово, находящееся от него на минимальном расстоянии Хэмминга.

Для нашего примера приведенное условие не выполняется. Полное количество возможных последовательностей равно 2⁵=32, из которых 4 используются как кодовые слова, а 28 являются ошибочными. Для ошибочных кодовых слов можно составить таблицу.

      В 8 случаях ошибочная последовательность находится на расстоянии 2 от двух различных существующих кодовых слов. Любая такая последовательность может возникнуть в результате двух битовых ошибок, и при этом приемник не может однозначно выбрать правильное кодовое слово. Таким образом, ошибка обнаруживается, но не исправляется. В то же время для всех 1-битовых ошибок полученная последовательность находится на расстоянии 1 только от одного правильного кодового слова, что позволяет принять правильное решение. Следовательно, данный код можно использовать для исправления всех 1- битовых ошибок, но в тоже время он не позволяет исправлять ошибки в двух битах.

     Минимальное расстояние между двумя правильными кодовыми словами равно 3. Следовательно, при появлении 1-битовой ошибки расстояние между исходной и ошибочной последовательностью составит 1; а расстояние между ошибочной последовательностью и всеми прочими правильными кодовыми словами будет не менее 2. Таким образом, рассмотренный код позволяет всегда исправлять 1-битовые ошибки. Кроме того, будут обнаружены все 2-битовые ошибки. 

     Приведенные ранее примеры иллюстрируют важные свойства блочных кодов с коррекцией ошибок. Блочный код (n,k) преобразует k бит данных в n-битовые кодо­вые слова. В большинстве случаев каждое корректное кодовое слово — это исходные k бит данных плюс (n - к) контрольных битов. Таким образом, структура блочного кода эквивалентна структуре функции вида v_c =f(v_d), где v_d — вектор, состоящий из k бит данных; v_c — вектор, состоящий из n бит кодового слова.