Определение предела функции в точке. Теорема о единственности предела. Экспоненциальные и гиперболические функции их свойства и графики. Формулы дифференцирования

1.определение предела ф-ии в точке: число  А называется пределом ф-ии f(x) в (.) х₀, если для любого положительного числа e найдётся число d зависящее от e, так что для всех х принадлежащих выколотой окрестности точки х₀ выполняется неравенство êf(х)-Аê< e

   односторонние пределы ф-ии в точке: А₁ – левосторонний предел f(x) в (.) x₀ если для всех e >0 существует d=d(e)>0 для всех х, таких что х₀-d<x<x₀ то êf(х)-А₁ê< e

А₁ =(x₀ - 0) = lim f(х)   (x® x₀-0). А₂ –правосторонний предел f(x) в (.) x₀ если для всех e >0 существует d=d(e)>0 для всех х, таких что х₀<x<x₀+d то êf(х)-А₂ê< e

А₂ =(x₀ + 0) = lim f(х)   (x® x₀+0)

Условие существования предела: Чтобы lim f(х)   (x® x₀) существовал необходимо, чтобы f(x) имела левый и правый односторонние пределы при x® x₀ слева и справа соответственно, и чтобы эти односторонние пределы были равны между собой. Для того чтобы ф-ия f(х)   имела предел при x® x₀ необходимо, чтобы существовало такое d>0, что на выколотой d-окрестности (.)x₀, ф-ия f(х) была бы ограниченной.  

2.Определение б.м. ф-ии: a(х)- бесконечно малая ф-ия в (.) х₀, если предел этой ф-ии в (.) х₀ равен 0, т.е. для любого e>0, найдётся число x, такое что для любого х, 0< êx-x₀ ê< d, то

½a(х)½< e.     a(х) - б.м. при x® x₀ если lim a(х)=0

теорема о связи предела ф-ии и б.м.:

lim f(х)( x® x₀) = A Û f(х) = A+a(х), где a(х) – б.м. при x® x₀ (*)

док-во:1) необходимость (*)

lim f(х)( x® x₀) = A   "e>0 d=d(e)>0 "x, 0< êx-x₀ ê< d  êf(х)-Аê< e

(**)  a(х)= f(х)-АÞ"e>0 для всех d=d(e)>0  "x, 0< êx-x₀ ê< d    êa (х) ê< e

(**)Þf(х) = f(х) = A+a(х), где a(х) – б.м. при x® x₀

2) f(х) = A+a(х), где a(х) – б.м. при x® x₀  Þ lim f(х)( x® x₀) = А

a(х) – б.м. при x® x₀  êa (х) ê< e   a(х)= f(х)-А Þ lim f(х)( x® x₀) = А

3.теорема о единственности предела: ф-ия  f(х) не может иметь более одного предела в точке х₀ (если предел ф-ии существует только один).

Док-во (от противного) пусть существуют 2 предела  lim f(х)( x® x₀) = А и lim f(х)( x® x₀) = В       (А ¹ В)

По теореме о связи предела и б.м. можем записать: f(х) = A+a(х); f(х) = В+b(х); где a(х) и b(х)  б.м. при x® x₀

0 = А – В + [a(х) - b(х)]     [a(х) - b(х)] = g(х) =  б.м. при x® x₀ Þ g(х) = В – А ¹ 0, наше предположение верно Þ ф-ия не может иметь более одного предела.

 Теорема2: произведение б.м. на ограниченную ф-ию – есть б.м.

Док-во: 1) пусть f(х) – ограничена в окрестности (.)х_0. Существует к>0, такое что ½f(х)½<= к для всех хÎ( х₀ - d, х₀ + d)      

2) a(х) – б.м. при x® x₀.Для всех e>0 существует d=d(e)>0, "х, 0< êx-x₀ ê< d ½a (х)½< e\к

рассмотрим произведение  | f(x)* a(х) | = ½f(x)½*½ a(х)½<к*e\к=e. Для всех e>0 существует d=d(e)>0, "х, 0< êx-x₀ ê< d   | f(x)* a(х) |<e т.е. lim f(x)* a(х)( x® x₀) = 0

f(x)* a(х) - б.м. при x® x₀

4. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций

1)сумма: lim f(х)( x® x₀) = А Þ f(х) = A+a(х)  (a(х) - б.м. при x® x₀)

lim g(х)( x® x₀) = B Þ g(х) = В+b(х) (b(х) - б.м. при x® x₀)

f(x)+g(x) = (A+B) + [a(х)+b(х)]       [a(х) + b(х)] = g(х) =  б.м. при x® x₀ Þlim [f(x)+g(x)] = A+ B = lim f(х)( x® x₀) + lim g(х)( x® x₀) 

2)разность: : lim f(х)( x® x₀) = А Þ f(х) = A+a(х)  (a(х) - б.м. при x® x₀)

lim g(х)( x® x₀) = B Þ g(х) = В+b(х) (b(х) - б.м. при x® x₀)

f(x)-g(x) = (A-B) + [a(х)-b(х)]       [a(х) - b(х)] = g(х) =  б.м. при x® x₀ Þlim [f(x)-g(x)] = A- B = lim f(х)( x® x₀) - lim g(х)( x® x₀) 

3)произведение:

4)частное: f(х)\ g(х)-A\B=(A+a(х))\(B+b(х))-A\B=(A*B+B*a(х)- A*B-A*b(х))\B*[B+b(х)]= (B*a(х)- A*b(х))\ B*[B+b(х)]  - б.м. при x® x₀          (_=g(х))

f(х)\ g(х)-A\B = g(х) Þ f(х)\ g(х)= A\B+ g(х) - б.м. при x® x₀ Þ lim f(х)\ g(х) (x® x₀) = A\B =  lim f(х) (x® x₀) \ lim g(х) (x® x₀)

5.Теорема о сжатой ф-ии (или о двух ментах): U(x),V(x),W(x) определены в (a;b) и (.) х₀Î(a;b)

если 1)  U(x)<=V(x)<=W(x) для всех хÎ(a;b)  2) lim U(х) (x® x₀) = lim W(х) (x® x₀)=A, тогда lim V(х) (x® x₀)=A

док-во: U(x)<=V(x)<=W(x)   U(x)-А<=V(x)-А<=W(x)-А

lim U(х) (x® x₀)=A; "e>0 найдётся d₁ = d₂(e)>0 для любого х, 0< êx-x₀ ê< d       êU(х)-Аê< e

lim W(х) (x® x₀)=A; "e>0 найдётся d₁ = d₂(e)>0 для любого х, 0< êx-x₀ ê< d       êW(х)-Аê< e

1)  Þ-e< U(х)-А<e

2)  Þ-e< W(х)-А<e

для любого х, 0< êx-x₀ ê< d₁

для любого х, 0< êx-x₀ ê< d₂             d=min{d₁;d₂}

 -e<U(x)-А<=V(x)-А<=W(x)-А<?(2)

"e>0 найдётся d₁ = d₂(e)>0 для любого х, 0< êx-x₀ ê< d       êV(х)-Аê< e

6.Теорема о сохранении знака ф-ии имеющей предел: Пусть f(x) определена в (a;b) и (.) х₀Î(a;b). Если lim f(х)( x® x₀) = А > 0, то найдём d>0,то

док-во: lim f(х)( x® x₀) = А    "e>0 найдётся d₁ = d₂(e)>0 для любого х, 0< êx-x₀ ê< d       êf(х)-Аê< e  

d< f(х)-А<e для любого х, 0< êx-x₀ ê< d

A-e <f(x)< A+ e   для любого х, 0< êx-x₀ ê< d