Пусть e =А\2>0; существует d =d*(А\2)>0 Þ f(x)> A-e = A-A\2 =A\2>0
"xÎ(x0-d; x0+d) êx-x0 ê< d Û xÎ(x0-d; x0+d)
теорема о предельном переходе в неравенстве: 1) если f(x)<=g(x) в некоторой окрестности (.) х0 2) lim f(х)( x® x0) = А; lim g(х)( x® x0) = А, то A<=B, т.е. lim f(х)( x® x0) <= ; lim g(х)( x® x0)
док-во: (от противного): Пусть А> BÞ lim[g(x)- f(x)]( x® x0) =B-A<0 ( x® x0 по теореме о сохр. ф-ии имеющей предел)
Пусть d>0: g(x)- f(x)<0 "xÎ(x0-d; x0+d), а это противоречит условию 1
А=lim f(х)( x® x0)< lim g(х)( x® x0)=В
7. Первый замечательный предел: lim sinx\x(x®0)=1
Пусть х – значение аргумента удовлетворяющее неравенству
-p<x<pÞ S∆obd < Sсектораobd< S∆ocd
S∆obd = 0.5sinx; Sсектораobd =0.5x; S∆ocd = 0.5tgx;
0.5sinx<0.5x<0.5tgx Þsinx<x<tgx (\sinx)
a)x>0 1<x\sinx<1\cosx 1=lim(x®0+0) = lim(x®0+0) x\sinx== lim(x®0+0) 1\cosx
б) x<0 1\cosx<x\sinx<1 1=lim(x®0-0) = lim(x®0-0) x\sinx== lim(x®0-0) 1\cosx
lim(x®0) x\sinx=lim1\(x\sinx)(x®0)= lim(x®0)1\ lim(x®0) x\sinx=1\1=1
8. Предел ф-ии на бесконечности: limf(x)(x®¥)=A
A-предел ф-ии f(x) при x®0, если для любого б.м. найдётся число D такое, что:
"e>0 найдётся D=D(e)>0; "x, ½x½>DÞ½f(x)-A½<e
½x½>DÛ x<-D; x>D;
Числовая последовательность, предел числовой последовательности: Числовая последовательность - ф-ия заданная на множестве натуральных чисел nÎN Xn = f(n)
Последовательность имеющая предел называется сходящаяся. Последовательность не имеющая предела – расходящаяся. Последовательность все члены которой равны – стационарная.
a=limXn(n®¥)
если "e>0 $N=N(e):"n>N ½Xn-a½<e
½Xn-a½<e Û a-e<Xn<a+e
Показать, что lim1\n(n®¥)=0
e>0 ½1\n-0½<eÞ1\n<eÞn>e x>=[x] n>[1\e]=N "e>0 $N=[1\e]:"n>NÞ ½1\n½<e
9.Монотонные последовательности: Для числовой последовательности справедливы все теоремы о пределах ф-ии.
1){Xn}-ограничена сверху если $ М: Хn<=M "n>=N
2){Xn}-ограничена снизу если $ М: Хn>=M "n>=N
3) {Xn}-ограниченная если она ограничена и сверху и снизу
$ m, M; m<=Xn<=M "n>=N
{Xn} если Хn+1>=Xn "nÎN
{Xn}¯ если Хn+1<=Xn "nÎN
Если эти неравенства строгие то последовательность – строго убывающая или возрастающая. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
Теорема о пределе монотонной последовательности: 1) если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел 2) если последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет предел Þ всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
10. Лемма Бернули: для всякого вещественного n>-1 "n (1+h)n>=1+nh (*)
док-во (метод мат индукции):
1)установим базовые ф-ии n=1 (1+n)1=1+1h
2)индуктивное предположение: предположим, что n=k неравенство (*) справедливо
3)индуктивный переход k®k+1 (*) сохраняется
(1+h)k+1=(1+h)k(1+h)>=(1+kh)*(1+h)=1+kh+h+kh2>=0 наше предположение верно.
2-ой замечательный предел (1+б.м.)б.б.=1\б.м.
lim(x®¥)(1+1\x)x=e; lim(x®0)(1+x)1\x=e;
lim(x®¥)(1+a\x)x= lim(x®¥)(1+a\x)x\a*a=ea; б.м.=a\х; б.б.=х\a
log с основанием е называется натуральным логарифмом e>1
Следствия из 2-го замечательного предела:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.