Определение предела функции в точке. Теорема о единственности предела. Экспоненциальные и гиперболические функции их свойства и графики. Формулы дифференцирования, страница 4

(.)х₀ называется (.) разрыва f(x) если оба односторонних предела существуют либо они не равны между собой и конечны, либо равны но не равны (.)х₀

1)Þ(.)х₀ – (.) устранимого разрыва 1-го рода

2) Þ(.)х₀ – (.) неустранимого разрыва 1-го рода

[lim f(х)( x® x₀-0)-lim f(х)( x® x₀+0)]

(.)х₀ – (.) разрыва 2-го рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

15. Непрерывные ф-ии на промежутках: f(x) называется непрерывной на [a,b] если она непрерывна в каждой точке этого промежутка

Теорема Вейристрасса: Если f(x) непрерывна  на [a,b], то она 1)ограничена на [a,b] 2) достигает на [a,b] своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной ф-ии: пусть f(x) – непрерывна на [a,b]   f(x)=A, f(x)=B и A¹B, тогда "С – заключена между А и В $(.)х₀Î[a,b]: f(x₀)=C

  Геометрически это означает, что прямая y=C обязательно пересечёт график непрерывной ф-ии на промежутке[a,b]. Следствие: если f(x) непрерывна на [a,b] и на его концах принимает значения  разных знаков, то $х₀Î[a,b]      f(x₀)=a   x₀ – корень ур-ия f(x)=0

16. Экспоненциальные и гиперболические ф-ии их св-ва и графики:

экспоненциальной ф-ей или экспонентой называется ф-ия с основанием е

гиперболические ф-ии

(1) гиперболический синус y=shx=(e^x-e^-x)\2=(e^2x-1)\2e^x   1) X=R=(-¥;+¥)  Y=R=(-¥;+¥) 2)нечётная sh(-x)=-shx график симметричен относительно начала координат 3)sh0=0 4)­, непрерывная в"(.) х.

(2) гиперболический косинус y=chx=(e^x+e^-x)\2=(e^2x+1)\2e^x   1) X=R=(-¥;+¥)  Y=(1;+¥)

3) чётная ch(-x)=ch(x) 4)ch0=1 5) на промежутке(-¥;0]¯, на[0;+¥)­; непрерывна в любой (.)х, график симметричен относительно Оу

(3) Гиперболический тангенс у=thx=shx\chx=(e^x-e^-x)\ (e^x+e^-x)= (e^2x-1)\ (e^2x+1) 1) X=R=(-¥;+¥)  Y=(-1;1) 2) нечётная th(-x)=-thx 3) th0=0 4)­, непрерывная в"(.) х.5)ограниченная ½th½<1

(4) гиперболический котангенс у=сthx=chx\shx=(e^x+e^-x)\ (e^x-e^-x)= (e^2x+1)\ (e^2x-1) 1) X=R=(-¥;+¥)  Y=(-¥;-1)È(1;+¥) 2) нечётная cth(-x)=-cthx график симметричен относительно начала координат 3)Разрывная е^2х=1, х=0 - (.) разрыва 2-го рода 4) (-¥;0)

св-ва гиперболических ф-ий: 1)ch²x- sh²x=1 2) ch²x+ sh²x=ch2x 3) 2chx*shx=sh2x 4) thx*cthx=1

19. формулы дифференцирования:

1) f(x)=c x₀, x₀+Dx  lim(Dx®0)Dy\Dx= lim(Dx®0)0\Dx=0;   f(x₀)=c   f(x₀+Dx)=cÞ(c)’=0

Dy = f(x₀+Dx) - f(x₀) = c-c=0

2) f(x)=x^a (степенная ф-ия) x₀®x₀+Dx

f(x₀)= x₀^a  f(x₀+Dx)= (x₀+Dx)^a= x₀^a(1+Dx\х₀)Þ Dy = f(x₀+Dx) - f(x₀) = x₀^a[(1+Dx\х₀)^a-1]

lim(Dx®0) Dy\Dx= x₀^alim((1+Dx\х₀)^a-1)\Dx

(1+Dx\х₀)^a-1  (б.м. при Dх®0)~a*Dх\х₀ =  x₀^alima*Dх\х₀\Dх= x₀^a*a\ x₀^a-1

(x₀)’= ax^a-1; (x^1\2)’=1\2x^1\2; (1\x)’ = 1\x²

3)f(x)=a^x x₀®x₀+Dx

f(x₀)=a^x0  f(x₀±Dx)=a^x0+Dx    Dy= f(x₀+Dx)- f(x₀)=a^x0(a^Dx-1)

lim(Dx®0) a^x0(a^Dx-1)\Dx= a^x0lim(a^Dx-1)\Dx= a^x0lna;   (a^x)’= a^x0lna

4) f(x)=lnx x₀®x₀+Dx

f(x₀)=lnx₀, f(x₀+Dx)=ln(x₀+Dx)  Dy= f(x₀+Dx)- f(x₀)=ln(x₀+Dx)-ln x₀=ln(x₀+Dx)\(x₀) = ln(1+Dx\х₀);  lim(Dx®0)Dx\Dy= lim(Dx®0) ln(1+Dx\х₀)\Dx= lim(Dx®0)Dx\x₀\Dx=1\x₀  ln(1+x)(x®0)~xÞ(ln(x))’=1\x

5) y=sinx x₀®x₀+Dx

f(x₀)=sinx₀  f(x₀+Dx)=sin(x₀+Dx)  Dy = sin(x₀+Dx) - sinx₀=2sinDx\2*cos(x₀+Dx\2)   sina-sinb= 2*sin(a-b)\2*cos(a+b)\2   lim(Dx®0) Dy\Dx=2*lim(sinDx\2* cos(x₀+Dx\2))\Dx = 2lim cos(x₀+Dx\2)*lim sin(Dx\2)\Dx=2cosx₀ Þ (sinx)’=cosx

6)f(x)=cosx (cosx)’=-sinx