Нормальный случайный процесс

6. Запишите ПВ случайной величины , где  - нормальный «белый» шум с ,  - детерминированная функция.

7. На вход интегрирующей RC-цепи с постоянной времени  в момент времени  подается сумма постоянного сигнала и «белого» шума с . Найти среднее значение и дисперсию СП на выходе цепи. Будет ли этот процесс стационарным?

8. Как связаны в установившемся режиме линейной цепи с коэффициентом передачи  СПМ на входе и выходе цепи?

Глава 7. Нормальный случайный процесс

Следствием центральной предельной теоремы является чрезвычайно широкое распространение в радиотехнике и других областях науки и техники нормального случайного процесса. Если выполняется условие , где  – полоса пропускания линейной системы, а  – эффективная ширина спектра входного случайного процесса, то значения выходного СП в произвольный момент времени можно приближенно рассматривать как взвешенную сумму  независимых случайных величин. При этом  независимо от распределения отсчетов входного СП предполагается, что условия центральной предельной теоремы выполняются. Тогда выходной процесс будет приближенно нормальным. Очевидно, что степень приближения зависит от числа независимых слагаемых  и распределения отсчетов входного процесса. Это явление называют эффектом нормализации.

Совокупность отсчетов нормального СП образует нормальный случайный вектор , статистические свойства которого были подробно рассмотрены выше. Следствием этих свойств является то обстоятельство, что нормальный случайный процесс полностью определяется математическим ожиданием  и корреляционной функцией , т. е. его полное описание дается в рамках корреляционной теории.

Если нормальный СП подвергается линейному преобразованию, то в результате мы получаем нормальный случайный процесс, если преобразование осуществляется с помощью оператора, либо нормальную случайную величину, если речь идет о линейном функционале от нормального СП.

Например, производная дифференцируемого стационарного нормального СП есть стационарный нормальный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией , где  – КФ исходного процесса.

Спектральная плотность процесса x¢(t), как уже отмечалось, равна , где  – спектральная плотность исходного процесса.

Результат действия оператора Вольтерра с ядром  на стационарный нормальный процесс даст нормальный СП , который в общем случае уже не будет стационарным. Его среднее значение

и дисперсия

.

зависят от времени.

Если t₀ = –¥, а  = , что соответствует установившемуся режиму отклика стационарной линейной системы с импульсной характеристикой , то процесс на выходе можно считать стационарным нормальным процессом со средним значением  и дисперсией

,

не зависящими от времени. Корреляционную функцию можно найти с помощью обратного преобразования Фурье спектральной плотности выходного процесса = , где  – коэффициент передачи линейной цепи, т. е.

.

Часто приходится иметь дело с линейным функционалом вида

,

где s(t) – детерминированная функция, x(t) – стационарный нормальный СП. Как результат линейного преобразования нормального СП, h является нормальной случайной величиной со средним значением  и дисперсией . Если корреляционная функция процесса с имеет вид , то  = .

Как уже отмечалось, процесс с такой КФ называется “белым” шумом по аналогии с белым светом, имеющим постоянную во всем частотном диапазоне спектральную плотность мощности = .

Важной моделью СП с независимыми приращениями (см. классификацию СП) является винеровский процесс, для которого разность отсчетов
x(t+ t) – x(t) при любом t имеет нормальное распределение с нулевым средним значением М[x(t+ t) – x(t)] = 0  и дисперсией М{[x(t+ t) – x(t)]²} =. Корреляционная функция Винеровского процесса , ее график приведен на рис. 29.

Винеровский процесс нестационарен, его часто называют процессом, описывающим броуновское движение частицы под действием ударов молекул жидкости. Производная винеровского процесса является гауссовским (нормальным) “белым” шумом.

Поскольку нормальный СП полностью определяется заданием среднего значения и КФ, которые могут быть вычислены с помощью двумерной ПВ, то задание двумерной ПВ при произвольном расположении отсчетов полностью определяет нормальный СП. Для произвольной двумерной ПВ справедливо представление вида

,

где  и  – ортонормальные многочлены, соответствующие весовым функциям  и . Коэффициенты С_тп находятся с помощью умножения обеих частей записанного равенства на  и двойного интегрирования по области, определенной весовыми функциями, что с учетом ортонормальности  и  дает:

.

Так как произведение полиномов  есть выражение вида

,

то коэффициенты С_тп выражаются через корреляционные моменты m_ij. В роли весовых функций обычно выступают одномерные ПВ  и . Для стационарного нормального СП с нулевым средним значением и единичной дисперсией выполняются соотношения