Нормальный случайный процесс, страница 3

а отсчеты фазы будут распределены равномерно в интервале [–p, p]. 

Если к узкополосному нормальному процессу x(t) добавляется детерминированный гармонический сигнал , то, как нетрудно показать, у квадратурных компонент результирующего узкополосного нормального СП появляются средние значения  и  соответственно. В соответствии с решением задачи о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора отсчеты огибающей и фазы в совпадающие моменты времени будут теперь зависимы. Отсчеты огибающей будут подчиняться распределению Релея–Райса:

а отсчеты фазы будут подчиняться распределению

,

.

Вид распределений W(r) и W(Q) зависит от величины параметра , который можно назвать отношением сигнал/шум. При h >> 1, заменяя функцию I₀(x) первыми двумя членами определяющего ее степенного ряда (см. гл.6), т. е., считая I₀(x) при , получим

При h >> 1 можно воспользоваться асимптотическим представлением функции I₀(x) при больших значениях аргумента (см. гл. 4 первой части пособия):

I₀(x) =,

где  – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Подставляя это выражение в распределение Рэлея–Райса, после несложных преобразований и перехода к безразмерной переменной , получим

.

Таким образом, с точностью до множителя  распределение Рэлея–Райса при h >> 1 стремится к нормальному, которое с учетом сделанной замены  имеет среднее значение U_m и дисперсию s².

Хорошо известно, что с вероятностью 0.997 значения нормальной случайной величины сосредоточены на промежутке  – правило “трех сигма”. В этой области поправочный множитель  при h >> 1 мало отличается от единицы. Убедиться в этом мы просим читателя.

На рис. 31 представлен вид распределения Рэлея–Райса при различных значениях параметра h.

Что касается распределения фазы, то при h << 1 оно хорошо аппроксимируется косинусоидальным распределением вида

, .

При h>> 1 распределение фазы стремится к нормальному со средним значением j и дисперсией , т. е.

, .

На рис. 32 приведено распределение  для различных значений параметра h.

Полученные результаты полезно проиллюстрировать с помощью векторной диаграммы. На плоскости, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью w₀, детерминированное колебание   можно представить неподвижным вектором, модуль которого r равен , а аргумент Q равен . Квадратурные компоненты этого процесса постоянны и детерминированы и равны  и  соответственно (см. рис. 33)

Для узкополосного нормального процесса квадратурные компоненты будут независимыми нормальными случайными процессами a(t) и b(t), причем длина вектора и его аргумент будут определяться выражениями:

 , .

Рассмотрим вопрос о стационарности суммы  стационарного узкополосного процесса и сигнала . Если сигнал  детерминированный, т. е U_m, w₀ и j – детерминированные величины, то суммарный процесс, оставаясь нормальным, будет нестационарным, так как его среднее значение  будет зависеть от времени. Огибающая и фаза при этом будут стационарными процессами с распределением мгновенных значений, приведенным выше.

Если начальная фаза сигнала j является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [–p, p], то суммарный процесс в предположении о независимости сигнала и узкополосного нормального процесса, будет стационарным в широком смысле, так как его среднее значение, равное сумме средних, будет равно нулю, а корреляционная функция, также равная сумме КФ слагаемых, будет равна +, где  – КФ узкополосного процесса, а  – корреляционная функция сигнала , будет зависеть лишь от t.