Множество и операции над множествами. Декартово произведение множеств. Определение понятия равенства двух множеств Исчерпывающее описание случайной величины. Плотность вероятности случайной величины, страница 4

Рассмотрим оператор поворота вектора на плоскости на угол j. Ортонормальным базисом в R₂ будет система векторов = (1, 0), = (0, 1). Преобразованные (повернутые на угол j) базисные вектора можно записать в исходном базисе как  и . Таким образом, матрица поворота любого вектора на плоскости имеет вид

.

Важную роль играет тождественный, или единичный, оператор Е, который любой вектор из Х превращает в самого себя, т. е. =.

Простейшим оператором в C [a, b] и L₂ [a, b] является умножение произвольной функции f(t) ÎC [a, b] или L₂ [a, b]  на фиксированную функцию , также принадлежащую рассматриваемым ЛП, т. е. А f(t) = f(t).

Весьма важным является оператор дифференцирования. Областью его определения в С [a, b] и L₂ [a, b] является множество дифференцируемых функций. Более общим является дифференциальный оператор n-го порядка D_n, определяемый как , где j_k(t) – фиксированные функции. Областью определения оператора D_n является множество n раз дифференцируемых функций.

Большую роль в приложениях играют интегральные операторы Фредгольма  и Вольтерра . Здесь функция двух переменных K(s, t) называется ядром оператора.

35. Что называется суммой, произведением операторов?

Суммой линейных операторов А и В называют линейный оператор С, для которого . Область определения оператора С является пересечением областей определения операторов А и В. Если операторы А и В ограничены, то .

Произведением операторов А и В называют результат их последовательного действия, т. е. . Область определения С состоит из тех , для которых , где D_B и D_A – области определения операторов В и А соответственно.

36. Что такое линейный функционал?

Выражение  называется линейным функционалом, если справедлив принцип суперпозиции, состоящий в том, что для  , Î L  и

,

включающий в себя аддитивность  и однородность .

37. Запишите прямое и обратное преобразование Фурье.

Оператор Фурье F определяется на множестве функций L₂ или L₁ и с метрикой  или  соответственно. Прямое преобразование Фурье (оператор Фурье) определяется как

, а обратное (обратный оператор) как .

38. Приведите основные свойства оператора Фурье.

Основные свойства оператора Фурье .

Теорема смещения.

Пусть сигнал s(t) имеет спектр . . спектр смещенного на время t сигнала равен произведению исходного спектра  на . Рассмотрим спектр сигнала , равный  . Как видно из полученного выражения, смещение спектра на величину w₀ в частотной области соответствует умножению сигнала на .

1.  Изменении масштаба времени, переход к сигналу s(kt), где k > 0 – масштабный коэффициент, определяющий при k >1 сжатие сигнала, а при k < 1 растяжение.

Преобразование Фурье для сигнала s(kt) будет иметь вид  и после замены переменной х = kt получим, что искомый спектр равняется . Если k < 0, то спектр преобразованного сигнала будет равен

2.  Спектры производной и интеграла.

Пусть сигнал s(t) дифференцируем и обращается в ноль при t ® ±¥. Тогда, интегрируя по частям выражение для спектра производной  , получим , т. е. операция дифференцирования подчеркивает высокие частоты в спектре исходного сигнала. При n-кратном дифференцировании .

Спектр интеграла от сигнала  будет равен  . Интегрируя по частям и считая, что , получим . Заметим, что спектр определенного интеграла, как спектр константы, равен произведению этой константы на d(w).

3.  Теорема о свертке.

,

39. Запишите оператор Гильберта для некоторого сигнала.

Комплексная функция  -  образованна из исходного вещественного сигнала s(t) добавлением мнимой составляющей s_^(t), которая определяется преобразованием Гильберта исходного сигнала . Эта комплексная функция называется аналитическим сигналом, т. е. .