Множество и операции над множествами. Декартово произведение множеств. Определение понятия равенства двух множеств Исчерпывающее описание случайной величины. Плотность вероятности случайной величины, страница 3

1.Любой вектор  линейного пространства можно записать в виде линейной комбинации базисных векторов , где  – совокупность базисных векторов, а скаляры x_i представляют собой координаты вектора  относительно базиса . Учитывая аксиомы ЛП можно записать  и . Таким образом, базис позволяет свести операции над векторами (сложными объектами) к операциям над скалярами (простыми объектами).

2.Линейной оболочкой базисной системы векторов является само ЛП L.

24. Что такое базис Котельникова?

На множестве B_F (множ сигн с финит спект)функций, имеющих конечное (финитное) преобразование Фурье (для любой функции, принадлежащей B_F,
 при | f| > F), базисную систему образует совокупность функций , называемая базисом Котельникова. Номера функций k = 0, ± 1, ± 2, … , а . Данное утверждение означает, что " s(t) ÎB_F  можно записать .                 

- являются значениями функции s(t), взятыми в моменты времени  и называются отсчетами функции s(t).

25. Сформулируйте неравенство Коши-Буняковского.

(Евклидово пространство) ; .

Обобщением понятия модуля вектора является введенная выше норма вектора ||||. Таким образом, учитывая, что , получим

,                                               (4.1)

что представляет собой неравенство Коши–Буняковского.

26. Как определяется скалярное произведение в ЛП?

Скалярное произведение для ЛП, заданных над полями R или С, определяется аксиоматически как правило отображения любой упорядоченной пары <, > векторов  и   в множество скаляров из поля R или С, над которыми задано ЛП.

27. Каковы свойства скалярного произведения в ЛП?

1.  (, ) – неотрицательное вещественное число, равное нулю только, если  = ;

2.  (, ) = (, )^*, где “*” – знак комплексного сопряжения;

3.  (a, ) =  a (, );(, a) =  a^* (, ),второе равенство - следствием аксиомы 2;

4.  Для ЛП, заданных над R,скалярное произведение является билинейной формой (функционалом), по обоим аргументам  и  , т. е.

;

,

поскольку для вещественных чисел a^* = a.

28. Как в евклидовом пространстве норма и метрика определяются через скалярное произведение?

В евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают с введенным скалярным произведением, полагая

||||² = (,);  r(, ) = (–, –).

29. Когда ортогональная система является ортонормальной?

Если квадрат нормы каждого вектора ортогональной системы равен единице, то система называется ортонормальной.

30. Что такое неравенство Бесселя?

||  f||² ³  - неравенство Бесселя. Пусть  – ортонормальная система в L₂ [a, b]. Поставим в соответствие функции f(t) из L₂ [a, b] линейную комбинацию функций системы  и выясним, при каких значениях коэффициентов C_k расстояние между  f(t) и  в смысле метрики r₂ будет минимально.

31. Приведите обобщенное равенство Парсеваля.

обобщенное равенство Парсеваля, в соответствии с которым для " f(t) и  g(t) Î L₂ [a, b] 

(f, g) =  для комплексного варианта L₂ [a, b] и (f, g) = для вещественного.

32. Что такое гильбертово пространство?

Гильбертовым пространством называется полное  евклидово пространство бесконечного числа измерений. В котором метрика и норма выражены через скалярное произведение.

33. Какой оператор называется линейным?

Пусть Х и Y – линейные нормированные пространства. Оператор А, действующий из Х в Y (), называется линейным, если выполняется условие, называемое принципом суперпозиции. Для любых  и , где – область определения оператора А, а F – поле, над которым задано ЛП Х, справедливо равенство:

.

34. Приведите примеры линейных операторов.

Линейный оператор в конечномерных пространствах R_n и С_п. Рассмотрим для определенности R_n с базисом , k = 1, 2, …, n. Для произвольного вектора   из R_n можно записать , и в силу линейности оператора А: .