Множество и операции над множествами. Декартово произведение множеств. Определение понятия равенства двух множеств Исчерпывающее описание случайной величины. Плотность вероятности случайной величины

1. Что такое множество? Приведите примеры множеств.

Множеством называют совокупность объектов, объединенных общими свойствами. Задать множество – значит указать признак, по которому можно определить, принадлежит ли данный элемент рассматриваемому множеству, или нет. Множетства целых, натуральных…. Чисел. Множество функций, интеграл от квадрата которых ограничен, т. е. . . Множество финитных во времени сигналов D_T = {f(t); f(t) = 0 при t[0, T]}. Множество сигналов с финитным спектром B_F, для которых преобразование Фурье равно нулю вне полосы частот [–F, F]:

.

2. Какие операции над множествами вам известны?

1.  Если А Ì В  и В Ì А, то множества А и В равны, т. е. А = В.

2.  Суммой, или объединением множеств А и В, называют множество S, состоящее из всех элементов множеств А и В и не содержащее никаких других элементов. Иначе говоря, множество S является суммой множеств А и В, если элементы множества Sпринадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Случай принадлежности элементов множества Sобоим множествам А и В не исключается. Множества, имеющие общие элементы, называются пересекающимися. Операции суммирования (объединения) распространяются на конечное или бесконечное число суммируемых (объединяемых) множеств:

 , ,

, .

Из определения подмножества следует, что если А Ì В, то А È В = В.

3.  Пересечением множеств А и В, называют множество P, состоящее из  элементов, являющихся общими для  множеств А и В и не содержащее никаких других элементов. Операция пересечения записывается как Р = АВ  или Р = А Ç В. Как и операция объединения, операция пересечения множеств распространяется на конечное или бесконечное число множеств:  и . Если А Ì В, то А Ç В = А. Для непересекающихся (не имеющих общих элементов) множеств А и В выполняется соотношение А Ç В = Æ.

Операции объединения и пересечения множеств связаны законом дистрибутивности: А (В + С) = АВ + АС.

4.  Разностью множеств А и В, называют множество R, состоящее из  тех элементов множества А, которые не входят в множество В, что обозначается как R = А \ В.

Для трех множеств А, В, С справедливо соотношение А (В \ С) = АВ \ АС.

Симметрическая разность множеств А и В - объединение двух разностей А \ В и В \ А. Симметрическая разность обозначается символом D: А D В = (А \ В) È (В \ А).

3. Что такое декартово произведение множеств?

Декартовым произведением множеств А и В называется множество D, элементами которого называются всевозможные упорядоченные пары элементов множеств А и В, обозначаемые как < a, b>, т. е.

D = A ´ B = {d; d = < a, b >, a Î A, B Î B}

Степенью множества называют п-кратное декартово произведение множества на самого себя.

4. Как определятся понятие равенства двух множеств?

Если А Ì В  и В Ì А, то множества А и В равны, т. е. А = В.

5. что означает эквивалентность двух множеств?

Если между элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются эквивалентными., что обозначается как А ~ В. Отметим, что равные множества эквивалентны. Из эквивалентности множеств равенство в общем случае не следует. Для конечных множеств эквивалентность означает равенство числа элементов множеств.

6. Что такое мощность множества?

Число элементов эквивалентных между собой конечных множеств определяет мощность этих множеств. Мощность множества А  обозначается как  или cardA, или |A|. Для конечного множества = п.

7. Какая бинарная операция на множестве называется ассоциативной? Коммутативной?

Бинарная операция называется ассоциативной, если для любой тройки а_i, а_j, а_k элементов множества А выполняется условие (а_i * а_j) * а_k = а_i * (а_j * * а_k) и коммутативной, если для любой пары а_i, а_j элементов множества А выполняется условие а_i * а_j = а_j * а_i.

8. Какой элемент называется единичным (нейтральным) по отношению к данной бинарной операции?

Единичным или нейтральным элементом по отношению к введенной бинарной операции называют элемент е Î А, такой, что для любого элемента а, принадлежащего множеству, выполняется условие  е * а  = а * е  = а. Иногда выделяют левый (е * а = а) и правый (а * е’ = а) нейтральные элементы. Если под бинарной операцией понимается сложение, то е называют нулевым элементом (нулем), а если имеется в виду умножение, то е называют единичным элементом (единицей).

9. Какой элемент называется обратным по отношению к данной бинарной операции?

Наличие нейтрального элемента е позволяет ввести понятие обратного элемента х ^–1,так, что х * х ^–1   = х ^–1 * х = е.

10. Что такое полугруппа?

Множество с заданной в нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой.

11. Что такое моноид?

Полугруппа с нейтральным элементом образует моноидом.

12. Что такое группа?

Моноид, каждый элемент которого, за исключением, быть может, нулевого, обратим, называется группой.

13. Что такое абелева группа?