Математический аппарат радиотехники. Часть II. Случайные процессы: Учебное пособие, страница 6

Например, при переходе от декартовых координат к полярным, этот случай нам потребуется в дальнейшем, случайные величины  и , радиус-вектор и полярный угол, связаны со случайными величинами   и , декартовы координаты, известными соотношениями = и =. Соответственно,  и . Вычисляя якобиан, получим  и ПВ полярных координат ,  связана с ПВ декартовых координат =, = соотношением

.

Знак модуля в данном случае можно опустить, так как .

Обобщение на случай многозначности решений системы уравнений, задающей связь между СВ  и  выглядит аналогично одномерному случаю

,

где – число решений.

Полученные результаты позволяют сравнительно просто решать задачу определения ПВ случайной величины, являющейся функцией нескольких СВ. Пусть = и ПВ  известна. Введем СВ  по правилу =, =, …, = и запишем в соответствии с полученными результатами

,

где =. Для отыскания ПВ случайной величины  необходимо проинтегрировать полученное выражение по всем значениям , т. е.

 =.

Рассмотрим конкретные и очень важные примеры.

2.1. Распределение суммы СВ

Пусть =+, =, тогда =, =1 и мы получим =, что естественно совпадает с полученным ранее выражением. Для ПВ разности СВ =– аналогично получим =.

2.2. Распределение произведения СВ

Пусть =, =. Тогда =, = и =.

2.3. Распределение частного СВ

Пусть =, =. Аналогично предыдущим случаям =, = и =.

Как будут выглядеть эти формулы для независимых СВ, догадаться нетрудно.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача отыскания ПВ функционально преобразованных СВ?

2. Как находится ПВ случайной величины , если известна совместная ПВ случайных величин  и  ? Как выглядит этот результат, если СВ  и  независимы?

3. Дайте определение характеристической функции СВ ; случайного вектора .

4. Сформулируйте свойства ХФ.

5. Как решается задача отыскания ПВ случайной величины , если известна ПВ ?

6. Пусть СВ  описывается нормальным распределением . Найти ПВ случайной величины , если ; ; ,

7. Как решается задача определения ПВ функционально преобразованной совокупности СВ?

8. Декартовы координаты точки  и  являются СВ, описываемыми совместной ПВ . Записать выражения для ПВ длины  и аргумента  случайного вектора, начало которого находится в точке (0,0), а конец в точке .

9. Как решается задача об отыскании ПВ случайной величины  при заданной ПВ ?

10. Найдите ПВ суммы и разности независимых нормальных СВ, имеющих параметры ,  и ,  соответственно.

Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотренные ранее функция распределения, плотность вероятности и характеристическая функция дают наиболее полное представление о СВ. Однако, являясь функциями одной или нескольких переменных, для многомерных СВ, они представляют собой достаточно сложные объекты. Во многих случаях достаточно бывает использовать для описания СВ совокупность чисел, называемых числовыми характеристиками СВ. Познакомимся с этими числовыми характеристиками.

3.1. Моменты случайной величины

Под начальным -м моментом СВ , где  = 1, 2, … понимают величину , где особую роль играет , называемый математическим ожиданием или средним значением СВ . Моменты СВ  существуют  тогда и только тогда, когда ,  = 1, 2, …. Часто для записи математического ожидания используют символ статистического усреднения, обозначаемый М, Е или просто прямой чертой сверху, т. е. ,  или . Для дискретных СВ, задаваемых распределением (),  = 1, 2, …, , математическое ожидание равно , если записанный ряд сходится абсолютно.

Используя аппарат дельта-функций, для дискретных СВ можно пользоваться интегральной формой записи математического ожидания

= =.