Импульсные и дискретные системы, страница 6

         (8.20)

          Уравнения (8.20) решаются методом «припасовывания», при котором решение 1-го уравнения в момент размыкания ключа Y(t_i+Δτ) принимается в качестве начального условия для решения 2-го уравнения, а решение 2-го уравнения в момент замыкания ключа Y(t_i+1) принимается в качестве начального условия для решения 1-го уравнения и т.д. При наличии случайных возмущений аналогичным образом решаются дисперсионные уравнения системы.

          Для проверки устойчивости системы следует рассмотреть решения однородных дифференциальных уравнений. На момент размыкания ключа имеем

                                   (8.21)

На момент замыкания ключа имеем

                                   (8.22)

Подставляем (8.21) в (8.22):  и результат рассматриваем как разностное уравнение эквивалентной  (для моментов времени t_i) дискретной системы с переходной матрицей .  Далее выполняется анализ устойчивости этой дискретной системы, имеющей характеристическое уравнение:

          Анализ системы с конечным временем съема данных и последующей дискретной обработкой сигнала выполняем для случая, когда структура системы представлена в виде, показанном на рис. 8.6.

          Ключ периодически замыкается на время Δτ=nδt, кратное периоду дискретизации сигнала δt. Период замыкания ключа равен Δt=(n+m)δt (n и m – целые числа). Сигнал g(t_k) поступает в дискретные моменты времени t_k=kδt. Коэффициент K(t) изменяется в зависимости от состояния ключа:

          При замкнутом ключе рекуррентный алгоритм работы системы описывается векторным разностным уравнением

         (8.23)

Во время паузы соответствующее уравнение имеет вид:

                                         (8.24)

          Уравнения (8.23) и (8.24) решаются совместно методом «припасовывания».

           Проверка устойчивости системы выполняется следующим образом. Используя (8.23) при g(t_k)=0 и (8.24) получим разностное уравнение системы для моментов размыкания ключа (эти моменты обозначим τ_i=t_i+Δτ):

Из этого уравнения следует, что исходную систему можно заменить эквивалентной дискретной системой с периодом дискретизации Δt и переходной матрицей . Далее выполняется анализ устойчивости этой системы.

          В качестве примера выполним анализ устойчивости системы    2-го порядка:

          Характеристическое уравнение эквивалентной дискретной системы можно записать в виде:

где sp и det обозначают след и определитель матрицы Φ_э.

В нашем случае

Для неравных собственных значений ψ₁ и ψ₂ матрицы Ψ с помощью теоремы Сильвестра найдем

                           (8.25)

где

С учетом этого равенства и соотношения  получим

   (8.26)

Определитель detΦ_э находится по правилу произведения:

                  (8.27)

          Выражения (8.26) и (8.27) определяют коэффициенты характеристического уравнения эквивалентной дискретной системы. Для нахождения области параметров K₁, K₂, обеспечивающих устойчивость системы, можно применить алгебраический критерий. При m=0 и n=1 эта область показана на рис. 2.12. При больших паузах (m>>n) область устойчивости уменьшается и при m→∞ стягивается в точку K₁=K₂δt=1, соответствующую режиму максимального быстродействия или бесконечной степени устойчивости дискретной системы.

          Для кратных собственных значений ψ₁=ψ₂=ψ матрицы Ψ  вместо (8.26) можно получить:  причем значение ψ связано с параметрами системы K₁ и K₂ соотношениями:

 (этим значениям параметров соответствует критический режим работы системы, разделяющий апериодические и колебательные переходные процессы). Определитель detΦ_э по-прежнему находится с помощью (8.27). Применение алгебраического критерия устойчивости в этом случае позволяет найти условие, определяющее максимальную допустимую длительность паузы m_гр, которая не нарушает устойчивости системы при заданной продолжительности интервала съема данных n: