Изучение специальных функций. Гамма-функция

уравнению, в частности каждому дифференциальному уравнению, которому удовлетворяет f₁(z).

Стандартный метод построения аналитического продолжения базируется на использовании ряда Тейлора, сходящегося в круге . Для каждой точки z = b внутри круга значения f(b),  f¢(b), … известны и можно записать разложения f(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z = b. Этот новый степенной ряд сходится внутри круга , часть которого может лежать вне первого круга. Таким образом, мы получаем аналитическое продолжение f(z) в часть второго круга, лежащую вне первого. Этот процесс может быть продолжен.

6.2. Гамма-функция

Изучение специальных функций во всех руководствах начинается с гамма-функции. Это связано с тем, что знакомство с её свойствами создаёт необходимую базу для изучения других специальных функций.

Рассмотрим хорошо знакомый из курса математического анализа интеграл , где n – целое число. Интегрируя по частям, легко показать, что I = n!, где  и . Если теперь рассматривать интеграл , где  – комплексное число, причём x > 0, то при произвольных z он не берётся (не выражается через элементарные функции). Этот интеграл, как функция параметра z, называется гамма-функцией Эйлера. При  является аналитической функцией и может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость.  аналитична на всей комплексной плоскости за исключением точек 0, –1, –2, …, –n, в которых она имеет полюса первого порядка.

Интегрируя  по частям, получим основное функциональное соотношения . Если z = n, то последовательное применение этого соотношения даст нам связь между гамма-функцией и факториалом . Таким образом, гамма-функция обобщает понятие факториала для произвольных значений аргумента.

Важную роль при различных преобразованиях и вычислениях выражений, содержащих гамма-функции, играют следующие функциональные соотношения:

,  .

Часто бывает необходимо знать значение гамма-функции при полуцелом аргументе . Пользуясь первым из записанных соотношений,  при   получим:  или , а на основе функционального соотношения  получим окончательно:

, где  .

Рассмотрим асимптотическое представление гамма-функции, считая
z = x  вещественной переменной, причем x >> 1. При решении этой задачи будем пользоваться методом Лапласа, являющимся частным случаем метода перевала. Рассмотрим интеграл , где p – фиксированное положительное число, называемое в дальнейшем большим параметром; f(x) и φ(x) – непрерывные функции. Предположим вначале, что функция φ(x) имеет один минимум в точке x₀ (см. рис.6.2).

При больших значениях p существенным является поведение функции φ(x) в малой окрестности точки минимума x₀. Разлагая функцию φ(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x₀ и удерживая первые три члена, получим:

.

Заметим, что в точке x₀ функция φ(x) имеет минимум, поэтому , а . Считая далее, что функция f(x) мало меняется в области, в которой отлична от нуля функция  (чем больше p, тем уже эта область и справедливее это предположение), и полагая , получим:

.

После замены переменной  и вычисления интеграла получим окончательно:

.                                (6.6)

Полученная формула без труда обобщается и на случай, когда функция φ(x) имеет несколько минимумов  в области интегрирования. В этом случае

,                                (6.7)

где  х₁, х₂, …, х_п – точки  минимума функции φ(x). Вывод формул (6.6), (6.7) базировался на предположении, что функция f(x) не меняется в малой окрестности точки x₀. Более точный результат можно получить, если функцию f(x) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, т. е.

.

Меняя местами операции суммирования и интегрирования и выполняя замену переменной ,  получим:

,                   (6.8)

или с учётом того, что интеграл в (6.8) при нечётных k равен нулю,

.               (6.9)

Интеграл, входящий в (6.9), равен

,                             6.10)

в чем можно убедиться, дифференцируя k раз по a левую и правую части равенства  и полагая затем a = 1.

Подставляя (6.10) в (6.9) и учитывая, что , где (2k)!! – произведение последовательных чётных чисел от 2 до 2k включительно, получим окончательно:

 .                 (6.11)

Естественно, что формула (6.11) может быть обобщена и на случай, когда функция φ(x) имеет несколько минимумов. При интегрировании по конечному или полубесконечному интервалу и использовании полученных формул возникают дополнительные ошибки, связанные с тем, что максимум функции  может располагаться достаточно близко к краям интервала интегрирования [a, b] или к левому краю интервала . При этом замена интеграла  на  справедлива лишь в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю вне интервала [a, b]. Очевидно, величина ошибки, связанной с такой заменой, зависит от положения точки x₀ внутри [a, b] и большого параметра p. Чем больше p, тем меньше ошибка за счёт “краевого эффекта”.

Для применения метода Лапласа представим Γ(x) в следующем виде:

  и сделаем замену переменной , после чего вынесем множитель  за знак интеграла.

После этих преобразований получим:

.

В соответствии с методом Лапласа x – большой параметр, , ,  поэтому первое приближение для Γ(x) будет иметь вид:

,

где τ₀ – точка минимума функции φ(τ), определяемая из уравнения

,   ,   .

Вторая производная функции φ(τ) равна  , а её значение  в точке τ₀ равно 1, поэтому окончательно получим:

.

Погрешность этого представления не превышает величины . Асимптотическая формула для факториала имеет вид

.

Ошибка не превышает.

Через гамма-функцию может быть выражен обширный класс определённых интегралов. Для приложений особый интерес представляет интеграл вида  ,  x > 0,  y > 0, называемый Эйлеровым интегралом первого рода или бета-функцией.

Можно показать, что

.

Гамма- и бета-функции широко используются в теории вероятностей, задавая весьма универсальные модели случайных величин, имеющих гамма и бета распределения. Функции распределения этих величин описываются с помощью неполных гамма- и бета-функций (g(x, y) и B_z(x, y) соответственно), определяемых следующим образом:

 ; .

Соответствующие функции распределения имеют вид

 ;  .

В заключение параграфа приведём график гамма-функций (рис. 6.3). Как уже отмечалось выше, Γ(x)имеет в точках z = 0,
–1, –2, –3,… полюса, поэтому гамма-функция Γ(x) имеет в этих точках вертикальные асимптоты с чередованием знаков в полюсах. При положительных целочисленных значениях аргументов x = n гамма-функция совпадает со значением факториала  (п – 1)!.

6.3. Интеграл вероятностей и функции с ним связанные

Интегралом вероятностей называют интеграл вида

,                                                (6.12)

где a и z в общем случае комплексные величины, z – переменная,  k и b – кон-