Задачи повышенной сложности по курсу "Математический аппарат радиотехники"

Задачи повышенной сложности по курсу МАРТ

1. В интервале наблюдения [0, t]  сигнал приходит с вероятностью Р. Сигнал появляется равновероятно в любой точке промежутка [0, t]. Известно, что в момент 0 < t < t сигнал еще не появился. Найти вероятность Q того, что он появится за оставшееся время t - t.

2. СВ x распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием. Определить, каким должно быть среднеквадратическое значение s{x}, чтобы вероятность попадания СВ x в интервал (А, В), не включающий начала координат, была бы наибольшей (A, B > 0).

3.  Некто положил в каждый из двух карманов по спичечному коробку, содержащему одинаковое количество спичек. Он достает спички по одной, причем выбор кармана равновероятен. Найти функцию распределения числа спичек, оставшихся во второй коробке, когда первая оказалась пустой. Определить среднее значение этой случайной величины.

4. Некий человек в темноте хочет открыть дверь, ключ от которой находится на связке, содержащей п ключей. Ключи на ощупь неразличимы. Найти среднее значение и дисперсию числа попыток до успеха (открывания двери) для двух случаев: проверенный ключ остается на связке; проверенный ключ снимается со связки.

5. Случайная величина x принимает целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Известно, что . Найти знаменатель этой прогрессии, , .

6. Плотность вероятности системы случайных величин x и h  представляет собой прямой круговой конус. Основанием конуса является круг с центром в начале системы координат и радиусом R. Вне этого круга совместная ПВ величин x и h равна нулю. Записать выражение для совместной ПВ . Найти  плотности вероятности , , , . Определить, зависимы ли случайные величины x и h. Определить, коррелированы ли случайные величины x и h.

7. Доказать, что для независимых случайных величин x и h выполняется соотношение  . Какому условию должны удовлетворять независимые случайные величины x и h, чтобы выполнялось равенство ?

8. СВ Х распределена по нормальному закону с параметрами , . Случайные величины Y и Z связаны с Х зависимостями , . Найти ковариации , , .

9. Координаты двух случайных точек на прямой независимы и равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними.

10. Вероятность обнаружения объекта радиолокатором с ростом числа циклов обзора п растет по показательному закону: . Найти математическое ожидание числа циклов, после которого объект будет обнаружен.

11. Функция распределения  некоторой СВ x представлена на рис. Показать, что математическое ожидание этой случайной величины  геометрически может быть представлено площадью фигуры, заштрихованной на рис.

12. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором поочередно в течение 1 мин горит зеленый свет, затем в течение 0,5 мин – красный свет и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой светофора. Найти вероятность того, что он проедет перекресток не останавливаясь; определить плотность вероятности, среднее значение и дисперсию случайной величины Т - времени ожидания у перекрестка; построить ее функцию распределения.

13. Показать, что для независимых одинаково распределенных случайных величин X, Y имеет место равенство , где  - дисперсия рассматриваемых величин.

14. Случайная величина x имеет плотность вероятности . Пусть  функция вида  определена на множестве значений x, для которых . Доказать, что средний квадрат случайной величины h и ее среднее значения совпадают.

15. Независимые СВ x и h имеют ФР , х ³ 0.  Показать, что СВ  равномерно распределена в интервале (0, 1). Доказать, что СВ  и  независимы.

16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя , элементы которого  - независимые случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями .

17. Доказать, что если случайные величины  независимы, положительны и одинаково распределены, то выполняется следующее соотношение: 

18. По сторонам прямого угла xOy концами скользит линейка AB длины L, занимая случайное положение (рис.). Все значения абсциссы Х ее конца А на оси Ох в пределах от 0 до  £ L одинаково вероятны. Найти математическое ожидание расстояния R от начала координат до линейки.

19. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин x и h, равномерно распределенных, соответственно, в промежутках (a, b) и (c, d).

20. Имеется стационарный случайный процесс x(t) с нулевым средним значением и функцией корреляции . Выполняется ли для такого процесса условие эргодичности по отношению к среднему значению?

21. Доказать, что для стационарного связанных случайных процессов x(t) и h(t), у которых спектральные плотности S_x(w) и S_h(w) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, функция частотной когерентности  для некоррелированных процессов равна нулю, а при линейной связи между процессами x(t) и h(t) она равна единице.

22. Доказать, что для взаимного спектра S_xh(w) стационарно связанных процессов со спектральными плотностями S_x(w) и S_h(w) справедливо неравенство .

23. X(t) – стационарный процесс с корреляционной функцией K_X(t). Найти корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса , где а, b и c – вещественные константы.

24. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию синусоиды постоянной частоты w со случайной амплитудой Х, если М{X} = 1, D{X} = 0,2.

25. Найти математическое ожидание и дисперсию процесса , где  и  – стационарные случайные процессы со средними значениями и дисперсиями  и ,  и  соответственно и взаимной корреляционной функцией .