Взаимные задачи, оптимизации народного хозяйства

2.4. Взаимные задачи, оптимизации народного хозяйства

Вернемся к рассмотрению оптимизационной модели народного хозяйства (2.3). Среди условий, образующих множество допустимых вариантов , важную роль играют ограничения по ресурсам. Если s — индекс ресурса, то g_s(X) - функция общих затрат этого ресурса, b_s — общее количество (запас) ресурса в народном хозяйстве.

Из всех видов ресурсов можно выделить дефицитные ресурсы (один или несколько). Ресурс называется дефицитным, если любое уменьшение его количества приводит к уменьшению оптимального значения целевой функции. Всякий дефицитный ресурс s_oв оптимальном плане X* используется полностью, т.е. вектор X* обращает неравенство в равенство. Но понятие «дефицитность ресурса» более жесткое, нежели понятие «полное использование ресурса», так как последнее не означает, что увеличение ресурса обязательно изменит оптимальный план.

Выделим из всех ограничивающих условий для специального рассмотрения ограничение по некоторому дефицитному ресурсу , где q(X) — функция общих затрат этого ресурса, Q— общее его количество. Все варианты  должны удовлетворять этому ограничению, и хотя бы для одного варианта оно будет выполняться строго как равенство. Множество допустимых вариантов, образованное в результате исключения из условий, описывающих множество , условия q(X)<Q, обозначим .

Количество ресурса Qможно рассматривать как параметр, определяющий множество допустимых вариантов . При этом есть общая часть (пересечение) множества  и множества таких вариантов, для которых выполняется условие , а именно:

Теперь сформулируем другую задачу.

Пусть G - параметр, характеризующий определенный уровень (значение) максимизируемой целевой функции . Обозначим через множество допустимых вариантов, которое является пересечением множества  и множества таких вариантов, для которых выполняется условие :

.

На множестве будем минимизировать функцию затрат выделенного ресурса q(X). Таким образом, имеем пару оптимизационных задач:

A)   (2.4)

B)             (2.5)

Задачи А и В называются взаимными. Как было показано, эти задачи имеют общую часть множества допустимых решений , а различия между ними сводятся к следующему: функция , максимизируемая в задаче А, образует ограничивающее условие в задаче В, и наоборот, функция q(X), ограниченная в задаче А, является минимизируемой в задаче В.

Вариант задачи А является оптимальным, если       

Вариант задачи В является оптимальным, если      

Принципиально важным является вопрос: при каких условиях решения задач А и В могут совпадать. Ответ дает общая теорема взаимности[1]: если для каждого оптимального варианта задачи А выполняется условие , а в задаче В задано , то решения задач А и В (т.е. множества их оптимальных вариантов) совпадают.

Понятие взаимных оптимизационных задач и теорема взаимности имеют важное теоретическое значение. Они устанавливают «равноправие» и условия эквивалентности двух основных модификаций оптимизационных моделей народного хозяйства.

При решении задачи на максимум целевой функции общественного благосостояния получаем и(X*)=С*. Общая теорема взаимности указывает, что в качестве народнохозяйственного критерия оптимальности может быть выбрана также функция затрат любого дефицитного ресурса. Использование этого критерия будет давать то же решение (те же оптимальные планы), если соблюдается условие u(X)>С*.

Для применения теории взаимных задач нужно из всего множества ресурсов выделить хотя бы один ресурс, который благодаря своим специфическим свойствам мог бы рассматриваться как устойчиво дефицитный ресурс.

Таким особым ресурсом является труд. Его исключительное положение среди всех других видов ресурсов (с интересующей нас точки зрения) объясняется рядом причин. Во-первых, количество трудовых ресурсов в каждый данный момент ограничено, и их увеличение сравнительно мало зависит от развития экономики (почти не зависит в пределах 15-летнего планового периода). Во-вторых, трудовые ресурсы являются наиболее универсальным ресурсом; относительный избыток трудовых ресурсов в одной какой-нибудь сфере деятельности может быть направлен в другие сферы деятельности (материального производства, отраслей услуг, образования и культуры и т.д.). В-третьих, в социалистическом обществе одним из важнейших факторов повышения благосостояния и всестороннего развития членов общества является увеличение свободного времени трудящихся за счет сокращения рабочего времени (свободное время является компонентой вектора, на котором определяется ЦФБ). Поэтому экономия труда (в отличие от экономии других производственных ресурсов) не только создает предпосылки для ускорения развития народного хозяйства за счет расширения сферы труда, но и может непосредственно увеличивать уровень благосостояния: абсолютное сокращение затрат труда в народном хозяйстве создает возможности дополнительного сокращения рабочего дня, увеличения свободного времени и создания более благоприятных условий для всестороннего развития личности.