Динамические межотраслевые модели

экономической динамики, позволяя существенно сокращать эмпирическую работу по их построению и анализу.

11.1. Динамические межотраслевые модели

Отличительный признак теоретических межотраслевых динамических моделей — описание соотношений "затраты — выпуск" в форме матриц межотраслевого баланса, где каждый вид продукции представлен только одним производственным способом, а в каждом способе выпускается только один продукт. Место динамических межотраслевых моделей среди моделей экономической динамики определяется тремя моментами. Во-первых, они являются детализированными (дезагрегированными) аналогами моделей воспроизводства общественного продукта и национального дохода (см. 10.1, 10.2). Во-вторых, они представляют собой обобщения статических (балансовых и оптимизационных) межотраслевых моделей (см. гл. 6, 8). В-третьих, они служат теоретико-методологической основой прикладных динамических моделей с матрицами межотраслевого баланса (см. гл. 13).

Динамическая модель В.Леонтьева. Предложенная В.Леонтьевым в начале 50-х гг. динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Построение этой модели удобно представить как дезагрегирование элементов простейшей динамической модели воспроизводства общественного продукта (см. 10.1), при котором эндогенные и экзогенные макропеременные заменяются векторами, а технологические макропараметры — матрицами. Модель имеет вид

                    (11.1)

где - вектор-столбец объемов производства;

 — вектор-столбец абсолютных приростов производства;

c(t) — вектор-столбец потребления (включая непроизводственное накопление);

 - матрица коэффициентов прямых материальных затрат (в отличие от коэффициентов статического межотраслевого баланса коэффициенты в динамической модели включают также затраты на возмещение выбытия и капитальный ремонт основных производственных фондов);

 - матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (затраты производственного накопления на единицу прироста соответствующих видов продукции; смысл этих коэффициентов будет уточнен ниже); i, jÎI, I={1, …, n}. Поскольку , то вместо (11.1) может исследоваться система дифференциальных уравнений

.       (11.2)

где В(Е — А)^-1 — матрицакоэффициентовполной приростной капиталоемкости, т.е. полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода[1].

Предполагается, что матрица А продуктивна. В дальнейшем анализе удобно считать матрицу А неразложимой, а матрицу В — невырожденной (см. разъяснения в ДМНХ, с. 124). Тогда (Е - А)^-1 > Е + А, В (Е - А)^-1 >В.

Очевидно, что экономический смысл имеют только решения X(t) ³0. Как будет показано далее, экономическим предпосылкам модели (11.1) соответствуют только неубывающие траектории X(t), т.е. .

Решение системы (11.2) при  в силу неотрицательности матриц (Е-А)^-1 и В(Е - А)^-1 гарантирует, что

Y(t) ³ 0, X(t) ³ 0,

В соответствии с теорией дифференциальных уравнений решение систем (11.1) и (11.2) проводится в три этапа: а) определяется общее решение однородной системы уравнений при c(t) = 0; б) находится частное решение неоднородной системы; в) из начальных условий рассчитываются неопределенные постоянные общего решения.

Динамика замкнутой производственной системы. Проанализируем систему однородных уравнений:

           (11.3)

Решение этой системы характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и В, когда все ресурсы национального дохода направляются на расширенное воспроизводство. Такая же ситуация на примере макромодели исследовалась в 10.1.

Естественно, возникает вопрос: существует ли траектория системы (11.3)  с постоянным темпом прироста m, одинаковым для всех компонент