Классический анализ переходных процессов в RС-цепях первого порядка

Классический анализ переходных процессов в RС-цепях

первого порядка

Задача 6.8

Решение.

Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что схема цепи после коммутации содержит два конденсатора C₂ и C₄. Однако, в схеме цепи, освобождённой от источника напряжения, они включены параллельно и могут быть заменены одним эквивалентным конденсатором ёмкостью C₂ + C₄. Такая схема описывается однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому цепь после коммутации является цепью первого порядка.

Сначала решим эту задачу аналитически.

Совместим момент коммутации в цепи Рис. 6.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, то есть с моментом времени t = 0, когда

 В,               .

По умолчанию эта цепь до коммутации (Рис. 6.2) находится в стационарном состоянии, в котором напряжения u₂(t) и u₄(t) конденсаторов С₂ и С₄ при t < 0 равны нулю. Следовательно, начальные (то есть накануне коммутации) значения напряжений конденсаторов также равны нулю:

u₂(0–) = 0,                  u₄(0–) = 0.

В качестве переменной состояния (независимой переменной) цепи после замыкания ключа (при t ³ 0) выберем напряжение одного из двух конденсаторов, например, напряжение u₂(t) конденсатора С₂. В этом случае напряжение u₄(t) конденсатора C₄ станет зависимой переменной цепи, являющейся линейной функцией переменной состояния u₂(t) (и задающего напряжения u_o(t))

u₄(t) = u_o(t) – u₂(t).

Составим затем уравнение состояния цепи после коммутации, в котором искомой функцией будет переменная состояния цепи – напряжение u₂(t) конденсатора C₂. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи Рис. 6.3 в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.4. Из неё находим выражение тока i₂(t) конденсатора C₂:

i₂ = – i₁ + i₃ + i₄

или, поскольку u₁(t) = u₂(t),

.

Интегрируя это выражение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальными u₂(0–), u₄(0–) и стартовыми u₂(0+), u₄(0+) значениями напряжений конденсаторов

.

С учётом связи стартовых значений напряжений конденсаторов

u₄(0+) = u_o(0) – u₂(0+)

находим

 В.

Вернёмся к последнему выражению тока конденсатора C₂, из которого, после несложных преобразований, учитывая линейное соотношение

u₄(t) = u_o(t) – u₄(t),

справедливое при t ³ 0, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

Здесь

 с^-1;

 с^-1;

.

Далее, как обычно, задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи u₂(t) при t ³ 0 – напряжения конденсатора C₂ после замыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t найдём выражение искомой зависимой переменной – тока i_о(t) источника напряжения u_о(t) цепи Рис. 6.3.

I этап. При t ³ 0 напряжение конденсатора C₂ представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора C₂, совпадающая с его гармонической составляющей;  – свободная составляющая напряжения конденсатора.

Из комплексной схемы цепи после коммутации (Рис. 6.5) находим сначала комплексную амплитуду U_m2 принуждённой составляющей напряжения конденсатора u_2пр(t):

 В.

Вычислим попутно выражение значение комплексной амплитуды I_mo принуждённой составляющей тока i_oпр(t) источника напряжения u_о(t):

 А.

Запишем далее выражения принуждённых составляющих переменной состояния цепи u₂(t) и искомого тока i_o(t) источника напряжения (t ³ 0)

 В

 А.

Для составления выражения свободной составляющей составляющих переменной состояния цепи получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение