Определение выражений токов резисторов в схеме цепи после коммутации и построение их графиков

Задача 2

Рис. 1

Определите выражения токов i1(t) и i2(t) резисторов R1 и R2 в схеме цепи Рис. 1 после коммутации и постройте их графики, если Uo1 = 100 В, R1 = 500 Ом, Uo2 = 50 В, R2 = 500 Ом, C3 = 10 мкФ, C4 = 40 мкФ.

Решение.

Совместим начало отсчёта относительного времени t (t = 0) с моментом коммутации в цепи Рис. 1. По умолчанию эта цепь до коммутации (t < 0) находится в стационарном состоянии. Из схемы цепи в стационарном состоянии (Рис. 2) находим начальные значения напряжений конденсаторов u₃(0–) и u₄(0–), т. е. их значения накануне коммутации (t = 0–) *

Рис. 3	Рис. 4

u₃(0–) = U_o1 = 100 В,                 u₄(0–) = – U_o2 = – 50 В.

В качестве переменной состояния (независимой переменной) цепи после коммутации (Рис. 3) выберем напряжение одного из двух конденсаторов, например, напряжение u₃(t) конденсатора C₃. В этом случае напряжение u₄(t) конденсатора C₄ станет зависимой переменной цепи, являющейся линейной функцией переменной состояния

u₃(t) = u₄(t).

Составим затем уравнение состояния цепи после коммутации, в котором искомой функцией будет переменная состояния цепи – напряжение u₃(t) конденсатора C₃. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации ** , изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи Рис. 3 в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис.4. Из неё находим выражение тока i₃(t) конденсатора C₃:

i₃ = i₁ + i₂ – i₄

или, поскольку u₁(t) = U_o1 – u₃(t), u₂(t) = – (U_o2 + u₄(t)),

                            .

Интегрируя это выражение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальными u₃(0–), u₄(0–) и стартовыми u₃(0+), u₄(0+) значениями напряжений конденсаторов

.

С учётом равенства стартовых значений напряжений конденсаторов

u₃(0+) = u₄(0+)

находим

 В.

Как видим, значения напряжений конденсаторов изменились скачком. Нетрудно показать, что конечное изменение значений напряжений конденсаторов за бесконечно малое время коммутации обусловлено бесконечно короткими импульсами бесконечно больших токов конденсаторов *. Действительно, значения токов конденсаторов i₃(0) и i₄(0) в момент коммутации:

 А,

 А.

Таким образом, конденсатор C₃ мгновенно разряжается (i₃(0) < 0), а конденсатор C₄ мгновенно заряжается (i₄(0) > 0) одинаковыми токами от различных начальных значений напряжений u₃(0–) = 100 В, u₄(0–) = – U_o2 = – 50 В до одинаковых стартовых значений напряжений u₃(0+) = u₄(0+) = – 20 В.

До коммутации энергия конденсаторов равна

 Дж.

После коммутации энергия обоих конденсаторов

 Дж

стала меньше. Очевидное нарушение закона сохранения энергии в рассматриваемой задаче объяснить невозможно.

Вернёмся к выражению

.

Отсюда, после несложных преобразований, учитывая равенство напряжений конденсаторов u₃(t) = u₄(t) при t ³ 0, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

 .

Здесь

 с^-1;

 с^-1.

 В

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи u₃(t) (независимой переменной) после замыкания ключа (при t ³ 0), а затем для тех же моментов времени t получим выражение искомых зависимых переменных – токов i₁(t) и i₂(t) резисторов R₁ и R₂ в схеме цепи Рис. 3.

I этап. При t ³ 0 напряжение u₃(t) конденсатора C₃ представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора C₃, совпадающая с его установившимся значением;  – свободная составляющая напряжения конденсатора.

Из схемы цепи после коммутации в стационарном состоянии (Рис. 5) находим

 В

Для составления выражения свободной составляющей напряжения u₃(t) конденсатора C₃ получим сначала характеристическое уравнение цепи и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с^-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t цепи равно

 .

При единственном корне характеристического уравнения

 В.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 напряжение конденсатора C₃

.

Полагая здесь t = 0+, находим

 В.

Следовательно, напряжение конденсатора u₃(t) в цепи после коммутации (Рис. 3) представляется выражением:

 В  при t ³ 0.

II этап. Выражение напряжения u₄(t) конденсатора C₄ в цепи после коммутации (Рис. 6.3)

 В  при t ³ 0.

Запишем выражения искомых токов i₁(t) и i₂(t) резисторов R₁ и R₂ в схеме цепи Рис. 6.3

А,

А.

Проверка:

Проверим, соблюдается ли баланс токов элементов исследуемой цепи в независимом, например, верхнем узле схемы (Рис. 6.3):

При известном выражении напряжения конденсатора u₃(t) зависимость его тока i₃(t) от времени определяется его динамической характеристикой:

 А.

Аналогичным образом находится выражение тока конденсатора C₃:

 А,

Следовательно,

Полученные выражения токов элементов цепи после коммутации удовлетворяют ограничению, налагаемому первым законом Кирхгофа.

Зависимости i₁(t) и i₂(t) на интервале 0 £ t £ 60 мс с шагом 6 мс представлены в таблице и на Рис. 6.

Таблица

t, мс	0	6	12	18	24	30	36	42	48	56	60
i1(t), А	0.24	0.206	0.184	0.171	0.163	0.158	0.155	0.153	0.152	0.151	0.151
i2(t), А	-0.06	-0.094	-0.116	-0.129	-0.137	-0.142	-0.145	-0.147	-0.148	-0.149	-0.149

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

,

в котором

a = – 80 с^-1,              с^-1.

 В

Результаты численного и аналитического исследования переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере до трёх цифр после запятой мантисс мгновенных значений токов i₁(t) и i₂(t) резисторов R₁ и R₂.