Определение выражения установившегося напряжения резистора в схеме RC-цепи первого порядка

Классический анализ переходных процессов в RC-цепях

первого порядка

Задача 6.6

Рис. 6.1	Рис. 6.2	Определите выражение установившегося напряжения u1(t) резистора R1 в схеме цепи Рис. 6.1 и постройте его график, если
, (Рис. 6.2); Iкm = 10 мА, T = 20 мс, R1 = 600 Ом, C2 = 10 мкФ, R3 = 400 Ом.

Решение.

Решим эту задачу в результате временнóго анализа процесса в цепи.

Выберем относительное локальное время (0 £  £ T), начало отсчёта которого совпадает с началом действия очередного импульса периодического напряжения u_o(t).

a)	b)
Рис. 6.3

Составим уравнение состояния цепи (Рис. 6.3, a): дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора u₂(t¢) – переменной состояния цепи. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t¢. Для схемы цепи Рис. 6.3, a в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.3, b. Из этой схемы находим выражение тока конденсатора i₂(t¢):

.

Обратите внимание на то, что множительпри i₂ представляет собой взятое со знаком минус выражение проводимости пассивного двухполюсника (“освобождённого” от источника тока) относительно полюсов конденсатора.

Сокращая последнее выражение на C₄, получаем искомое уравнение состояния записанное в нормальной форме (форме Коши):

,

где                  с^-1;

 Ом/с.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между “начальным” u₂(0–) и “стартовыми” u₂(0+) значениями напряжения конденсатора

u₂(0+) = u₂(0–) .

Аналогичным образом находится условие непрерывности функции u₂(t¢) при t¢ = T/2

.

С учётом условия периодичности и непрерывности напряжения конденсатора u₂(t) находим условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений напряжения конденсатора u₂(t¢) на интервале [0, T] относительного времени t¢

u₂(0+) = u₂(T–).

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния (независимой переменной) цепи при 0 £ t¢ £ T – напряжения конденсатора u₂(t¢), а затем для тех же моментов времени t¢ найдём выражение искомой зависимой переменной – напряжения u₄(t) резистора R₄.

I этап. При 0 £ t¢ £ T напряжение конденсатора представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора;  – его свободная составляющая.

Выражение принуждённой составляющей напряжения конденсатора ищем в виде

.

Значение комплексной амплитуды принуждённой составляющей напряжения конденсатора  вычислим из анализа комплексной схемы цепи (Рис. 6.4). Обозначим

 рад/с.

Значение U_m2 найдём по формуле, дуальной формуле “r”:

,

где                                           А,

 См².

Тогда

 В.

Попутно вычислим значение комплексной амплитуды принуждённой составляющей искомого напряжения резистора

 В.

Запишем теперь выражения принуждённых составляющих напряжений конденсатора u_2пр(t¢) и резистора u_1пр(t¢):

 В

 В

Для составления выражения свободной составляющей напряжения конденсатора получим сначала характеристическое уравнение цепи и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с^-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

 мкс.

При единственном корне характеристического уравнения

 В

В соответствии с принятым представлением при 0 £ t¢ £ T напряжение конденсатора

 В.

Используя условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений напряжения конденсатора u₂(t¢) на интервале [0, T], а также условие его непрерывности при t¢ = T/2 приходим к системе уравнений

,

,

имеющей следующее решение

 В,

                     В.

Следовательно, напряжение конденсатора u₂(t¢) в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T представляется выражением:

 В.

Проверка:                     u₂(0+) = u₂(T–) = 1.01 В;

=2.74 В.

II этап. Выражение напряжения u₁(t¢) резистора R₁ в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T получим по её схеме замещения (Рис. 6.3, b), в которой на основании принципа компенсации конденсатор заменен источником найденного напряжения u₂(t):

 В.

Здесь

,            Ом.

Тогда