Классический анализ переходных процессов в RС-цепях первого порядка, страница 2

,

единственный корень которого равен

 с^-1.

Найдём попутно значение постоянной времени t рассматриваемой цепи

.

При единственном корне характеристического уравнения

.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 напряжение конденсатора

.

Полагая здесь t = 0+, находим

 В.

Следовательно, напряжение конденсатора u₂(t) в заданной цепи представляется выражением:

                              .

Здесь s(t) – единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда).

II этап. Выражение искомого тока i_o(t) источника напряжения u_о(t) в цепи Рис. 6.3 получим сложением токов i₁(t) резистора R₁ и i₂(t) конденсатора С₂:

,

где

 мА,

 мА.

Здесь d(t) = s¢(t) – единичная импульсная функция (функция Дирака) *.

Складывая полученные выражения токов i₁(t) и i₂(t), а также используя полученное ранее выражение гармонической составляющей тока i_o(t) источника напряжения, после приведения подобных получим

 мА.

Обратите внимание на бесконечно короткую импульсную составляющую тока i_o(t) источника напряжения – [ – 33.33×10^– 3 d(t) мА], под воздействием которой напряжения u₂(t) и u₄(t) конденсаторов C₂ и C₄ мгновенно изменяют свои значений от нулевых начальных до ненулевых стартовых значений. Действительно, поскольку

 А,

то стартовые значения напряжений конденсаторов равны соответственно

 В;

 В.

Проверка:

 В.

Аналитическое решение рассматриваемой задачи завершено. Остаётся составить таблицу конечных значений функции i_o(t) и построить её график, например, на интервале [0, 3…5t].

Численное решение этой задачи осуществляется также в рассмотренные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи u₂(t) в виде

,

в котором

a = – 500 с^-1,       b = 333.3 с^-1,       c = 0.3333.

Численное решение этого уравнения при 0 £ t£ 5 мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

                                         – стартовое значение переменной состояния цепи u₂(0+);

– выражение её первой производной;

            – вычисление значений переменной состояния цепи u₂(t) в пятистах точках (500) интервала времени [0,0.005] с;

                                 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

                                                  – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

                                                – элементам вектора u₂ присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Искомая зависимая переменная i_o(t) определяется суммой

.

Для аппроксимации на интервале [0,0.005 с] вектор-функции  дискретного аргумента  функцией u₂(x) непрерывной переменной x (относительного времени) воспользуемся функцией кусочно-линейной интерполяции linterp(VX,VY,x) математического пакета MathCad 7 Pro:

Теперь можно записать выражение зависимой переменной i_o(t) в протоколе MathCad 7 Pro:

.

Потерянная при численном анализе бесконечно короткая импульсная составляющая тока i_o(t) источника напряжения I_dod(t) может быть легко восстановлена путём предельного перехода в операторном выражении I_o(s) этого тока (Рис. 6.6):

 Ас.

Рекомендуется самостоятельно составить таблицу конечных значений функции i_o(t) и построить её график на том же интервале [0, 3…5t]. Сравните и проанализируйте результаты аналитического и численного анализа переходного процесса в цепи.                                   C:\ОТЦиС\Упражнения\Тема_6b\Примеры_6b\Пример 8