Классический анализ переходных процессов в RC-цепях второго порядка

Классический анализ переходных процессов в RC-цепях

второго порядка

Задача 6.4

Решение.

Совместим момент коммутации ключа в цепи Рис. 6.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, то есть с моментом времени t = 0, когда

                         В,               .

В качестве переменных состояния (независимых переменных) цепи после коммутации ключа (при t ³ 0) выберем напряжения конденсаторов u₁(t) и u₃(t). По умолчанию считается, что цепь накануне коммутации (t < 0) находится в гармоническом процессе. Из схем цепей Рис. 6.2, эквивалентных исходной схеме Рис. 6.1, вычислим значения напряжений u₁(0–) и u₃(0–) конденсаторов C₁ и C₃ к моменту коммутации – их начальные значения.

Из схемы цепи до коммутации в стационарном состоянии (Рис. 6.3, a) находим начальное значение напряжения u₁(0–) конденсатора C₁ (*)

u₁(0–) = 0 В.

Из комплексной схемы замещения (Рис. 6.3, b) второго фрагмента исходной схемы (Рис. 6.2, b) вычислим сначала значение комплексной амплитуды напряжения U_m3 конденсатора C₃:

,

где – G₄ проводимость резистора R₄

 См;

jwC₃ – комплексная проводимость конденсатора C₃:

 См;

U_om – комплексная амплитуда задающего напряжения

 В.

Тогда

 В.

Запишем далее выражение мгновенного напряжения конденсатора u₃(t) до коммутации (t < 0)

 В.

И, наконец, вычислим его значение к моменту коммутации

 В.

– начальное значение напряжения конденсатора C₃.

Составим теперь систему дифференциальных уравнений для переменных состояния цепи после коммутации u₁(t) и u₃(t) (Рис. 6.4, a). Считая известными выражения их мгновенных значений и опираясь на известный принцип компенсации (*), изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0 (Рис. 6.4, b). Из этой схемы находим выражения токов i₁(t) и i₃(t) конденсаторов C₁ и C₃:

,

,

где

 См.

Сокращая первое из этих выражений на C₁, а второе – на C₃, получаем искомую систему уравнений состояния цепи, записанную в нормальной форме (форме Коши):

или

при                                                 u₁(0–) = 0 В,

                                                       u₃(0–) = – 79.692 В.

Интегрируя их в пределах от 0– до 0+, получаем соотношения между начальными u₁(0–), u₃(0–) и стартовыми u₁(0+), u₃(0+) значениями напряжений конденсаторов, известные в теории как выражение второго закона коммутации:

u₁(0+) = u₁(0–) = 0 В,

u₃(0+) = u₃(0–) = – 79.69 В.

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражения переменных состояния (независимых переменных) цепи при t ³ 0 – напряжений конденсаторов u₁(t) и u₃(t) после замыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t получим выражение искомой зависимой переменной – тока i₁(t) конденсатора C₁ цепи Рис. 6.4..

I этап. При t ³ 0 выражение напряжения каждого конденсатора представим суммой двух составляющих

,

.

где u_1пр(t) и u_3пр(t) – выражения принуждённых составляющих напряжений конденсаторов, совпадающих с их гармоническими составляющими; u_1ñâ(t) и u_3св(t) – выражения свободных составляющих этих величин, представляющие собой общее решение системы дифференциальных уравнений состояния цепи.

Из комплексной схемы цепи после коммутации (Рис. 6.5) находим сначала значения комплексных амплитуд U_m1 и U_m3 принуждённых составляющих напряжений u_1пр(t) и u_3пр(t) конденсаторов C₁ и C₃. Обозначим

R_э = R₂ + R₄ = 400 + 100 = 500 Ом,

 мкФ

Тогда

,

 В;

Очевидно

 В.

Запишем теперь выражения принуждённых составляющих напряжений конденсаторов u_1пр(t) и u_3пр(t) (t ³ 0)

 В,

 В.

Здесь же найдём выражение принуждённой составляющей тока i_1пр(t) конденсатора C₁:

 А;

 А.

Общее решение системы уравнений состояния цепи есть решение однородной системы дифференциальных уравнений

,

которую можно записать в виде матричного дифференциального уравнения

,

где                               с^–1.

Составим характеристическое уравнение матрицы A однородной системы дифференциальных уравнений, оно же характеристическое уравнение цепи:

,

которое представляет собой условие существования нетривиального решения векторного уравнения (здесь E – единичная матрица). Перепишем его подробно

;

раскроем определитель, получим уравнение . Его корни p₁ = 0 и p₂ = – 133.33 с^–1 – характеристические числа матрицы A.

Проверка. Произведение корней характеристического уравнения равно значению определителя матрицы A, которое, в свою очередь, равно значению свободного члена характеристического уравнения:

.

Вычислим теперь значения собственных векторов матрицы A системы дифференциальных уравнений, соответствующие найденным значениям характеристических чисел.

Найдём собственный вектор матрицы A, отвечающий её собственному числу (значению) . Пусть

,

.

Составим систему уравнений для определения V₁₁ и V₂₁:

или

,

.

Полагая , находим  или собственный вектор

.

Найдём собственный вектор матрицы A, отвечающий её собственному числу (значению)  с^–1. Пусть

,

.

Составим систему уравнений для определения V₁₂ и V₂₂:

или

,

Полагая , находим  или собственный вектор

.