Классический анализ переходных процессов в RC-цепях второго порядка, страница 2

Общее решение системы уравнений состояния цепи имеет вид

или в координатной форме

 

Отсюда видно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 выражения напряжений конденсаторов u₁(t) и u₃(t)

 В,

 В.

Значения постоянных интегрирования D₁ и D₂ находятся по стартовым значениям искомых величин u₁(0+) = 0 В, u₃(0+) = – 79.69 В. Полагая здесь t = 0+, получаем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений

,

,

или

,

,

где

u_1св(0+) = u₁(0+) – u_1пр(0+) = 0 – 24.4sin(– 0.994) = 20.47 В,

u_3св(0+) = u₃(0+) – u_3пр(0+) = – 79.69 – 73.2sin(– 0.994) = – 18.27 В.

Отсюда

D₁ = 19.923 В,      D₂ = 0.550 В.

Запишем теперь окончательные выражения напряжений u₁(t) и u₃(t) конденсаторов C₁ и C₃ в цепи после коммутации (см. Таблицу и Рис. 6.4, a) (t ³ 0). В соответствие с принятым разложением:

 В,

 В.

Значения постоянных интегрирования можно также найти по стартовым значениям переменных состояния цепи и их первых производных (см. Приложение).

Интересно отметить, что установившиеся напряжения конденсаторов представляются периодическими, но несинусоидальными функциями времени t

 В и  В,

поскольку кроме гармонических содержат также постоянные составляющие (Рис. 6.6).

Проверка: Значения u₁(0+) = 8.13×10^-4 В и u₃(0+) = – 79.67 В с точностью до трёх значащих цифр совпадают с известными стартовыми значениями этих величин.

II этап. Выражение тока i₁(t) конденсатора C₁ в цепи после коммутации (Рис. 6.4, a) можно получить по её схеме замещения (Рис. 6.4, b), в которой на основании принципа компенсации конденсаторы заменены источниками найденных напряжений u₁(t) и u₃(t):

.

Но проще поступить иначе. Искомое выражение тока конденсатора i₁(t) при t ³ 0 также можно представить разложением

.

a)	b
Рис. 6.7

Выражение принуждённой составляющей i_1пр(t) этого тока было получено ещё на первом этапе анализа переходного процесса.

Выражение же его свободной составляющей i_1св(t) легко определить из анализа схемы замещения цепи после коммутации, “освобождённой” от источника напряжения u_o(t) (*) (Рис. 6.7):

 А.

Следовательно

 А.

Проверка:

 А.

Зависимость тока i₁(t) на интервале 0 £ t £ 30 мс с шагом 3 мс представлены Таблицей и Рис. 6.6.

Таблица

t, мс	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
u1(t), В	0	19.0	39.2	43.7	28.8	6.7	- 4.4	4.6	26.3	42.7	40.4
u3t), В	-79.7	-22.6	37.8	51.3	6.6	-59.6	-92.9	-65.9	- 0.8	48.5	41.5
i1(t), мА	247	457	287	- 121	- 431	- 386	- 24	358	444	164	- 252

Численное решение этой задачи осуществляется в те же два этапа.

Обратимся сначала к полученным ранее уравнениям для переменных состояния цепи в виде

Обратимся сначала к полученным ранее уравнениям для переменных состояния цепи в виде

.

Здесь

        при           В;

             с^-1,            с^-1.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при 0 £ t £ 30 мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 2000 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. После ввода исходных данных задачи устанавливаем значение ORIGIN = 0 и задаём последовательно:

	– матрица коэффициентов однородной системы дифференциальных уравнений состояния цепи;
	– матрица коэффициентов правой части неоднородной системы дифференциальных уравнений состояния цепи;
	– стартовые значения u(0+) элементов вектора переменных состояния цепи u(t);

               – выражение первой производной вектора переменных состояния цепи u(t);

          – вычисление значений вектора переменных состояния цепи u(t) в шестистах точках (600) интервала времени [0,0.03] с;

                           – номера точек разбиения интервала времени [0,0.03] с пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

                                            – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

                                            – элементам вектора u₁ присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

                                            – элементам вектора u₃ присваивают значения элементов третьего столбца матрицы Z.

Выражение искомой зависимой переменной i₁(t) есть линейная функция переменных состояния u₁(t), u₃(t) и задающего напряжения u_o(t):

 А,

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 2000 Pro выглядит так:

.

Результаты численного и аналитического исследования переходного процесса в рассматриваемой цепи на интервале 0 £ t£ 30 мс полностью совпадают, по крайней мере до трёх цифр мантиссы мгновенных значений тока i₁(t).

D:\ОТЦиС\Упражнения\Тема_6c\Примеры_6c\Пример 4