Исследование нелинейной АСР методом гармонической линеаризации

2.5. Лабораторная работа 5

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ АСР МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Цель работы: Исследование автоколебательных процессов в нелинейной системе, влияние вида нелинейности на качество нелинейной системы.

Теоретические сведения

Гармоническая линеаризации основана на том, что в рассматриваемой нелинейной системе устанавливается режим некоторого периодического движения с заранее неизвестными амплитудой A и частотой w.

Периодический выходной сигнал нелинейного звена можно разложить в ряд Фурье:

где

При наличии свойства фильтра линейная часть системы будет хорошо пропускать первую гармонику нелинейных колебаний и ослаблять все высшие гармоники. Поэтому переменная на входе нелинейного звена окажется близкой к синусоиде:

Таким образом, в нелинейной системе могут существовать автоколебания, и задача исследования сводится к определению двух неизвестных: частоты w и амплитуды A первой гармоники в случае симметричных колебаний.

Для решения данной задачи можно использовать метод гармонической линеаризации, заключающийся в представлении передаточной функции нелинейного звена в гармонически линеаризованном виде:

При этом коэффициенты гармонической линеаризации определяются по следующим выражениям:

Определение частоты и амплитуды симметричных автоколебаний в нелинейной АСР (рис. 20) можно провести частотным способом.

Рассчитываются и строятся на комплексной плоскости годографы Михайлова и нелинейной части.

Годограф линейной части находится обычным методом, путем замены s = jw в передаточной функции W_л. Годограф нелинейного звена рассчитывается по гармонически линеаризованной передаточной функции:

Точка пересечения годографов определяет величины A и w, причем значение амплитуды определяется по обратной амплитудной характеристике нелинейного звена , а значение частоты – по .

Проверку на устойчивость полученного решения можно осуществлять с помощью алгебраического критерия устойчивости:

В случае выполнения неравенства в системе существуют устойчивые симметричные автоколебания, в противном случае будут неустойчивые расходящиеся колебания, что свидетельствует о неустойчивости всей системы.

Практическое задание:

1.  Найти АФЧХ линейной части.

2.  Найти обратную амплитудную характеристику нелинейного элемента.

3.  Построить эти две характеристики на одном графике в Mathcad.

4.  Сделать вывод об устойчивости автоколебаний в системе в случае их наличия.

Методика выполнения работы:

1.  Согласно варианту задания (табл.6, прил.1) определите передаточную функцию линейной части нелинейной системы W_л(s).

2.  Сделав замену s = jw выделите вещественную (P(w)) и мнимую (Q(jw)) часть. Постройте график АФЧХ в Mathcad.

3.  Согласно варианту задания (табл.6, рис.21) по статической характеристике нелинейного элемента рассчитайте коэффициенты гармонической линеаризации q(a) и q’(a).

4.  Определите передаточную функцию нелинейного элемента W_н(a).

5.  Найдите и постройте в Mathcad обратную амплитудную характеристику нелинейного элемента .

6.  Постройте обе характеристики на одном графике и сделайте выводы о наличии автоколебательного режима в системе. В случае наличия автоколебаний сделайте вывод об их устойчивости.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

Таблица 6