Применение уравнения Эйлера для решения задач теории оптимального управления. Безградиентные методы. Оптимизация функции одной переменной

1.Применение уравнения Эйлера для решения задач теории оптимального управления

                    Ур-е Эйлера целесообразно применять для решения задач, где по физ.смыслу не ожидается решение в виде разрывных ф-цый, а функционал и доп.усл-я существенно нелин. С помощью этого метода можно находить решение для сист., кот. опис-ся лин. или нелин.ур-я. При этом ограничения задаются общего вида. Это огр-е в виде интег-лов и доп.усл-й в виде ур-й. Но метод нельзя применять если на упр-е и фаз.координаты накладываются огр-я, н-р   , .

Поэтому на пр-ке метод применяется ограниченно, т.к все реал.сист. связаны с ограничениями подобного вида.

                    Задан функционал экстремум, кот. требуется найти. Известно что ф-цию y(t), доставляющую экстремум функционала 

 можно найти решая Ур-е Эйлера , где,. Задача состоит в след.; необход. найти опт.з-н упр-я объекта, кот. опис-ся некоторым диф.ур-ем. Ограничения задаются общего вида н-р , i=1…n или , i=1…n. Чтобы найти ф-цию y(t) надо составить ф-цию Лагранжа, учитывающую целевую ф-цию и огр-я.  или. Здесь -неопред.множители Лагранжа. Их кол-во опр-ся кол-вом огр-й. Для получения ф-ции Лагранжа находят Ур-е Эйлера-Лагранжа ,,. Для нахождения y(t) и  решают общее кол-во (n+1) ур-й Эйлера-Лагранжа и уравнений связи.

2.Пр-п максимума Понтрягина

В середине 20го века была доказана целесообразность применения кусочнонепрерывных упра-возд-й. С помощью этого метода решаются задачи опт.упр-я, кот. опис-ся сист.лин.диф.ур-й 1го пор. с огр-ями как на управл., так и на фаз.коорд.

Задача состоит в след.: необход. найти опт.з-н упр-я U(t) и опт-траекторию y(t), доставляющие экстремум ф-ционала , при выполнении нек. ограничений накладываемых на си-му. Р-м объект, кот. опис-ся диф.ур-ем n-ного пор. . Т.к метод применяется для решения задач, в кот. объект опис-ся сист.лин.диф.ур-й 1го пор. вида , то необход. перейти от диф.ур-я n-ного порядка к такой сист. Для этого вводим обознач-е y=y₁ тогда ;; ; ие экстремум ф-ционала ачи опт.упр-я, кот. нения кусочнонепрерывных упра-возд-й.

В рез. получаем сист.ур-й:

Получ.сист. дополняют еще одним ур-ем ,тогда . Получаем сист.лин.диф.ур-й 1го пор.

Т.о имеем сист.лин.диф.ур-й 1го пор. вида , где i=0,1..n. Для решения этой преобразованной задачи с прим-ем пр-па макс-ма вводят вспомогат.ф-цию-вектор  с коорд. , .., кот. должна быть непрерыв. и ненулев. Кроме ф-ций  в пр-пе макс. Понтряг. Важную роль играет ф-ция Гамильтона(гамильтониан) .Ф-ции  и H должны удовлетварять усл-ям  и .

Формулировка: для оптимал.упр-я U(t) с коорд. U₁(t),U₂(t)..U_r(t) и опт.траекторией y(t) с корд. y₀(t),y₁(t)..y_n(t) необход. существование непрерыв. и ненулевой ф-ции   с коорд. , .., связанной с ф-цией H и y(t) посредством ур-я  такой, что для любого времени t из инт-ла   ф-ция Гамильтона при опт. упр-и U(t) из допустимой области возможных упр-й  достигала бы максимума. Матем.запись пр-па max: . Опт.упр-е находят из решения сист.ур-й , где j=1,2..r. Если при решении некоторая ф-ция , то решения принимают граничные знач-я области , кот. накладывается в кач-ве огр-й на упр-е.

Порядок решения задач теории опт.упр-я.

1.Для сист. описываемой диф.ур-ем n-ного порядка составляется сист.лин.диф.ур-й 1го порядка  .

2.Получ.сист. дополняем ур-ем . В рез. получаем сист.ур-й , i=0,1..n.

3.Составляют ф-цию Гамильтона .

4.Находят ф-ции  решая сист.ур-й . При этом  должны быть непрерыв. и ненулев. 5.Опт.упр-е U(t) находят из реш-я сист.ур-й , где j=1,2..r. Если  , то опт.упр-е принимает гранич. знач-я. ит в след.емум, кот. требуется найти. ист., кот. о физ.смыслу не ожидается решение в виде разрывных ф-цый, а функцио

3.Безгадиентные методы.

Безгадиентные методы – это методы, кот. исп. в проц-се поиска extr., инф полученную от сравнительной оценки критерия оптимальности в результате выполнения очередного шага. Часть безградиентных методов на практике целесообразно применить вместе с градиентными методами. Это позволяет построить эффективные алгоритмы решения задач нелинейного программирования.

Метод золотого сечения.

Задача состоит в определения положения extr. функции одного переменного G(x) на некотором интервале [a,b]. Для решения этой задачи весь исходный интервал разбивается на части в определенном пропорциональном  отношении.