Теоретический закон распределения. Доверительный интервал, страница 5

где δ_X-оценка среднеквадратичного отклонения среднего арифметического,

           t_p,n-коэффициент Стьюдента.

Оценка среднеквадратичного отклонения среднего арифметического δ_X  характеризует погрешность результата измерения и находится по формуле:

           δ_X=δ/√n= √ ∑v_i² / (n²-n),

где v_i – остаточная погрешность  i-го измерения,

       δ –оценка среднеквадратичное отклонения.

Остаточная погрешность находится из выражения:

           v_i=x_i-X,

где  x_i-результат измерения в i-ом опыте,

       Х-среднее арифметическое (Х=∑х_i/n)

Остаточные погрешности обладают свойствами:

   1) ∑v_i=0,

   2) ∑v_i²=min (при данном Х).

Оценка среднеквадратичного отклонения δ характеризует точность ряда измерений и степень рассеивания результата измерения вокруг среднего арифметического. Оценку среднеквадратичного отклонения δ можно найти из следующего равенства:

                                   δ = √ ∑v_i² / (n-1)

Результат измерения записыватся в виде: Х-∆_1,2< X₀ < Х+∆_1,2.

Подстатвив значения найдем Х= 0.11489 мкс.

Оценка среднеквадратичного отклонения δ=0,0026 мкс.

Оценка среднеквадратичного отклонения среднего арифметического δ_X =0,000596 мкс.

Так как  Р=0,99 и n= 19, то t_p,n=2,88 и доверительный интервал  ∆_1,2=0,00171.

Результат измерения 0,11489-0,00171< X₀ <0,11489+0,00171

Найдем относительную квадратичную погрешность результата измерения по формуле:

             γ_X = (σ_х / X) * 100%.

Подставив значения получим γ_X = 0,518%.

Ответ:     γ_X = 0,518%.      0,11489-0,00171< X₀ <0,11489+0,00171

Задача 3. Производятся прямые измерения неких параметров Х,Y и Z, после чего по формуле F=X^-5Y^-3Z², рассчитывается результат косвенных измерений физической величины F. Найти коэффициенты влияния относительных погрешностей прямых измерений на относительную погрешность результата косвенных измерений, а также относительную погрешность результата косвенных измерений относительным погрешностям прямых измерений, при относительной погрешности прямых измерений параметров: X=-5 %, Y=-3 % , Z=2 %. 

Решение:

При косвенных измерениях абсолютная погрешность измеряемой величины ΔF является некоторой функцией погрешностей прямых измерений:

ΔF = P(ΔX, ΔY, ΔZ)

Относительная погрешность расчитывается по формуле:

γ_F = ΔF / F = B₁ * γ_x + B₂ * γ_y + B₃ * γ_z

где B₁, B₂, B₃ – коэффициенты влияния относительных погрешностей γ_x, γ_y, γ_z на относительную погрешность результата косвенных измерений.

Найдем коэффициенты влияния относительных погрешностей γ_x, γ_y, γ_z прямых измерений на относительную погрешность результата косвенных измерений:

           B₁ = dF/dX * X/F = (-5*X^-5*Y^-3*Z²)/(X^-5*Y^-3*Z²) = -5

           B₂ = dF/dY * Y/F = (-3*X^-5*Y^-3*Z²)/(X^-5*Y^-3*Z²)= -3

           B₃ = dF/dZ * Z/F = (2*X^-5*Y^-3*Z²)/(X^-5*Y^-3*Z²)= 2

Относительная погрешность результата косвенных измерений равна:   γ_F = -5*(-5) +  (-3)*(-5) + 2*(-5)  = 30%