Функция Грина для слоя диэлектрика на металле

2.2. Функция Грина для слоя диэлектрика на металле

2.2.1. Постановка задачи

Рассмотрим простую структуру, образованную металлической плоскостью, покрытой слоем диэлектрика постоянной толщины b с однородными параметрами  (рис. 2.2.1). Внутри слоя находится параллельный металлической плоскости элементарный магнитный вибратор. Устройство расположено в пространстве с однородными параметрами . Считаем, что e_а1>e_а, m_а1>m_а. Необходимо найти возбуждаемое вибратором электромагнитное поле. Последнее должно удовлетворять уравнениям Максвелла в слое диэлектрика и в окружающем пространстве, граничным условиям на металлической поверхности и на поверхности раздела диэлектриков и, наконец, условиям излучения.

Слой диэлектрика на металлическом экране

Рис. 2.2.1

Введем декартовую систему координат и расположим ее так, чтобы ось х была параллельна вибратору, а плоскость у=0 совпадала с металлической плоскостью. Координаты вибраторов обозначим через х₀, у₀, z₀. Тогда

.

Обозначим через Е₁, Н₁ и А^м₁ векторы электрического и магнитного полей и магнитный векторный потенциал, возбуждаемые сторонним источником в слое диэлектрика, то есть при 0£у£b, а через Е, Н и А^м – векторы электрического и магнитного полей и магнитный векторный потенциал в верхнем полупространстве (при у³b). Если считать металлическую плоскость идеально проводящей, то в соответствии с граничным условием

.

Имеем

.                                     (1)

На поверхности раздела диэлектриков из условия

,

получаем

                            (2)

Это есть граничные условия для искомого электромагнитного поля.

Поскольку , то А^э₁=0 , А^э=0. Вектор  содержит только одну составляющую , поэтому А^м₁=i_xA^м_x1,  А^м=i_xA^м_x. Функция A^м_x1 удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца

,            (3)

где .

Поскольку в области у³b сторонних источников нет, то функция А^м_х удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

                         (4)

где .

Составляющими векторов Е₁, Н₁ и Е, Н, касательными металлической поверхности и поверхности раздела диэлектриков, являются Е_х1, Е_z1, Н_х1, Н_z1, Е_х, Е_z, Н_х, Н_z. Определяем их по формулам

Е_х1=Е_х=0, Н_z1=H_z=0, ,                 (5)