Метод LU разложения и метод Холесского для решения СЛАУ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Лабораторная работа №2

По дисциплине  «Высшая математика»

«Метод LU разложения и метод Холесского для решения СЛАУ»

Выполнил:  студент гр. Р-74

Емельяненко

ВАРИАНТ №1

Проверил: Чистяков

Таганрог  2005 г.

Теоретическое введение:

Алгоритм LU-разложения.

Данный алгоритм можно рассматривать как конкретную форму метода Гаусса. Алгоритм LU-разложения используется не только для решения СЛАУ, но и также для обращения матрицы, т.е. вычисления матрицы, обратной данной.

Пусть   и    A=LU                                     (2.1),

где L и U – соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы вида

.

Известно, что если все угловые миноры матрицы А отличны от нуля, т.е.

то разложение вида (2.1) существует и единственно, однако, на доказательстве этого факта мы останавливаться не будем. Для того чтобы получить расчётные формулы, поступим следующим образом. Обозначим aij как произведение i-ой строки матрицы L на j-ый столбец матрицы R, причём будем считать в начале , что i<j.

Тогда .

Выразим из последней формулы uij.

.                                                  (2.2)

Как это принято, будем считать в формуле (2.2) и далее, что сумма вида  равна нулю, если значение верхней границы индекса суммирования меньше нижней границы.

В случае i = j имеем

Учитывая, что uii º 1 и, выражая из последнего соотношения lii, получаем:

                                                    (2.3)

Наконец, при i > j получаем

откуда, с учетом того, что ujj º 1 приходим к формуле

                                                    (2.4)

Итак, расчетные формулы (2.2) – (2.4) получены. Для того чтобы при их применении не использовались неизвестные (не вычисленные) величины, необходимо выбрать соответствующий порядок вычисления элементов матриц L и U.

Например, можно рекомендовать порядок расчета элементов матриц L и U, схематически изображенный на рис.1. На нем цифры слева для матрицы L и сверху - для матрицы U означают, что на первом шаге рассчитывается l11 по формуле (2.3), затем вычисляется элемент u12 по формуле (2.2).

Далее (3 шаг) определяются элементы второй строки матрицы L в порядке, указанном стрелкой: l21 и l22 (по формулам (2.4) и (2.3) соответственно).

На 4 шаге выполняется расчет элементов 3 столбца матрицы U в порядке, обозначенном стрелкой: u13, u23 (формулы (2.2)) и т.д.

Рис.1.

Пример 1. LU – разложение матрицы.

По формуле (2.3) для i = 1 определяем l11 = а11 = 2. В соответствии с рис. далее вычисляем u12 по формуле (2.2)

Переходим к определению элементов второй строки матрицы L (см. рис.1) по формулам (2.4) и (2.3)