Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов (Практическое занятие № 3)

Задание для студентов на практическое №3 по теме

 «Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1.  Первообразная функции и неопределённый интеграл.

2.   Интегрирова­ние.

3.   Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.

4.  Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

5.  Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.  

6.  Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах. (самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Примеры

Найти интегралы:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)

 Вычислить интегралы:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	21)	22)
23)	24)	25)
26)	27)	28)
29)	30)	31)
32)	33)	34)
35)	36)	37)
38)

Тема

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

∫f(x)dx=F(x)+C

∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

∫ d(F(x))=F(x)+C

(∫f(x)dx)=f(x)

∫f(x)dx= ∫f(t)dt

d∫f(x)dx=f(x)dx

∫af(x)dx+a∫f(x)dx

Основные интегралы

∫dx=x+C

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/  (n+1) +C    (n≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫a^xdx=a^x/lna +C

∫e^xdx=e^x+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos²x=tgx+C

∫dx/sin²x=-ctgx+C

∫dx/(1-x²)^1/2=arcsinx=-arccosx

∫dx/(1+x²)= arctgx=- arcctgx

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫ ln хdх.

Полагаем  и=lпх, dv = dx, тогда  dи =dx/x, v = x

Используя  формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример метод непосредственного интегрирования

Найти у= ∫ (1+ 2x²)dx 

На основании свойства интеграла суммы запишим

у= ∫ (1+ 2x²)dx = ∫ dx+2 ∫ x²dx =x+2x³/3+C

Пример; метод замены переменной( метод подстановки)

∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx  обозначим cosx=t

Продифферинцируем праву и левую часть

-sinxdx=dt  найдем dx=dt/(-sinx)

Запишим интеграл через новые переменные

∫(sinx/t) dt/(-sinx)  =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C

Определенный  интеграл

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной  суммы

lim∑f(k_i)Δx_i    ( от i=1 до  n и Δx→0)

где k_i — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя  кривыми y=.f₁(x)  и у = = f₂(x)    [ f'₂(x)≥f₁(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения

F(x ,y,y′,y″,…yⁿ) = О

Общee решение дифференциального уравнения

y=f(x, C₁,C₂,     , С_n)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F(x,y,y') = 0

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y= f(x,C)

примеры

 1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)

        dy/dx=f(х) ,        dx = f(x)dx

 Общее решение

y=∫f(x)dx=F(x)+C

Дифференциальное уравнение типа