у' = f(y)
dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx
Общее решение
∫dy/f(y)=F(y)+C
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
f(x) dx + φ(y)dy = 0
Общее решение
∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0
Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными
(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0
Общее решение
∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F1(x)+F2(y)=C
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование).
Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(x) находить ее производную ¢F¢(x) или дифференциал dF = F¢ (x)dx.
Cуществует действие, обратное дифференцированию,- интегрирование -нахождение функции F(x) по известной ее производной f(x) = F¢(x) или дифференциалу f(x)dx.
Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F¢(x) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Например, функция F(x) = x5 является первообразной функции f(x) = 5x4 для х Î]-¥,+¥[, так как при любом х (х5)¢ = 5х4 и dx5=5x4dx.
Для функции f(x) = 5x4 первообразной будет любая функция Ф(х) = х5 + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.
В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):
(F(x) + C)¢ = F¢(x) = f(x).
Cовокупность первообразных F(x) + С для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают òf(x)dx.
По определению, òf(x)dx = F(x) + C(читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.
Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = cosx, если при х = 0 F(0) = 0.
Решение. Функция cosx есть производная от функции sinx, поэтому ò cosxdx = sinx + C. Обозначим искомую первообразную F(x) = sinx + C. Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F(0) = 0, получим 0 = sin 0 + C, откуда C = 0. Искомая первообразная F(x) = sinx.
В геометрии с помощью неопределенного интеграла по закону углового коэффициента касательной в любой точке кривой можно найти уравнение кривой.
Пример. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен её абсциссе, то есть r = x. Составить уравнение кривой.
Решение. Так как угловой коэффициент r = tgj = f¢(x) = x, то y= òxdx = = x2/2 + Cесть семейство парабол, отличающихся друг от друга на постоянную С.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла.
1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
(ò f(x)dx)¢x = f(x).
По определению, ò f(x)dx = F(x) + C. Взяв производную от обеих частей, получим
(ò f(x)dx)¢x = (F(x) + C)¢x = F¢(x) = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению (дифференциал уничтожает интеграл):
dò f(x)dx = f(x)dx.
По определению, òf(x)dx = F(x) + C. Взяв дифференциал от обеих частей, получим
dò f(x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) = F¢(x)dx = f(x)dx.
3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С:
ò dF(x) = F(x) + C.
Действительно,
ò dF(x) = ò F¢(x)dx = òf(x)dx = F(x) + C.
4. Постоянный множитель r можно вносить за знак неопределенного интеграла:
ò rf(x)dx =rò f(x)dx.
Справедливость этого равенства проверяется дифференцированием его левой и правой частей
5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
ò (f1(x) + f2(x) – f3(x))dx = ò f1(x)dx + ò f2(x)dx - ò f3(x)dx.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.