Тригонометрический ряд и его основные свойства

Тригонометрический ряд и его основные свойства. Ряд вида

 

В отличие от степенного ряда, в тригоно­метрическом ряде вместо простейших функций х, х², ..., х^п, ... взяты тригонометрические функции

1/2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, ...            (2.1)

Прежде всего отметим, что все функции системы (2.1) являются периодическими с периодом 2π. По­этому и любая частичная сумма ряда 2π-периодична. Отсюда следует, что если ряд сходится на отрезке [-π, π], то он сходится на всей число­вой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности пе­риодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2л. Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы.

Другим важным свойством функций системы (2.1) является их ортогональность на отрезке [ - π, π].

Ряд Фурье. Аналогично степенному ряду, для тригонометри­ческого ряда имеет место следующая теорема.

ТеоремаЕсли функция f (x) определена и интегри­руема на отрезке [ - π, π], разлагается в тригонометрический ряд

 

который можно интегрировать почленно, то это разложение един­ственно.

Для функций нечетных на отрезке [ - π, π], коэффициенты b_k=0, а для четных на том же отрезке a_k=0.

Пример. Рассмотрим функцию f(x) = x. Эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Так как она нечетная, то ее коэффициеты Фурье a=0, а b находятся по формуле:

Таким образом, получаем ряд Фурье данной функции

 

Это  равенство  справедливо  для любого х в [ - π, π].   В  точках x=± π сумма ряда Фурье не совпадает со значениями   функции  f(x)=x,   а   равна нулю. Вне отрезка [ - π,  π]  сумма  ряда является  периодическим продолже­нием функции f(x)=x график изображен на рис.2.1.

 

Рис.2.1.

В случае, если функция f(x) определена на отрезке [-l,l], (l- произвольное положительное число), имеет период  2l и может быть разложена в ряд Фурье, то выражение для ряда примет следующий вид: