Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. Неопределенные и определенные интегралы. Функции многих переменных

Контрольные для ФБ

Первый семестр

Контрольная работа 1

Введение в анализ

1.  Записать на языке  определение

2.  Доказать  непрерывность функции y=sinx.

3.  Вычислить    а)         б)  

                       в)        г)

4.  Сравнить  бмф  arcsin  и  при  .

5.  Исследовать на непрерывность, сделать чертеж.

       a),       б)y=

6. Построить графики функций.

       a)   ,           б) y = - |x-1| ,       в) r =  .

Вариант для защиты ТР по теме «Дифференциальное исчисление функций одного переменного»

1.  Вычислить производные функций  а) ,  в).

2.  Вычислить , используя правило Лопиталя.

3.  Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке =p/6.

4.  Вычислить приближенно с помощью дифференциала f(0,01) , если .

5.  Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-4;2 ].

6.  Найти асимптоты и построить график функции .

Контрольная работа по теме «Неопределенные интегралы»

Контрольная работа по теме «Определенные интегралы»

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  , у = 0.
2. Найти длину кривой   r = ,  0 £j£p/4  .
3. Найти объем тела, образованного вращением, вокруг оси Oу фигуры, ограниченной линиями  .
4. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ox кривой
5. Вычислить несобственный интеграл .
6. Исследовать на сходимость интегралы: .

Второй семестр

Контрольная работа по теме “Функции многих переменных”

1. Найти  grad z(M₀)  и производную  в точке M₀(1,1), по направлению l,    составляющему 60 градусов с осью ОX , если  3xyz = y² + z²+ x².

2. На поверхности, заданной уравнением:  x² + y² - z² - 2x = 0 найти точки, где  касательная плоскость параллельна плоскости y=0.

3. u=tg(3x-2y-z), M(p,p,3p/4). Вычислить du|_M .

4. Исследовать функцию  z =  3x² + 2y² - x³+ 4y      на  экстремум .

5. Найти область определения функции z =, изобразить область определения на плоскости ХОУ .

6. Найти производные , в точке M₀(p/3,1) от сложной функции

 z = arctgu +1/v , если u = , v = cosx.

Вариант 1 для защиты РГР по теме “Кратные интегралы”

1.Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

, , , .

2.Найти массу пластинки, ограниченной линиями:

, , , плотность .

3.Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями:

, , плотность .

4.Найти площадь поверхности , заключенной внутри цилиндра  .

5.Вычислить объем, ограниченный поверхностями:

, , .

6.В интеграле по области D , D:{ , , , } перейти к новым переменным , . 

Контрольная работа по теме ”Ряды”

1.  При каком значении параметра  p сходится знакочередующийся ряд   .

2.  Исследовать на сходимость ряд   .

3.  Найти интервал сходимости степенного ряда .

4.  Разложить в ряд Тейлора при x₀ =2 функцию  , найти радиус сходимости.

5.  Используя разложение в ряд функции , найти сумму ряда.

6.  Радиус сходимости степенного ряда равен 2.  Как ведет себя  ряд в точке x=2:

ряд сходится; ряд расходится;  вывода о поведении ряда сделать  нельзя ,  требуется дополнительное исследование. Дать пояснение.                 

7.  Указать номера  расходящихся рядов для которых необходимый признак сходимости не выполнен:    1)  ,   2)  ,    3)  ,     4)  ,  5)  .  

Вариант 1 для защиты РГР по теме “Дифференциальные уравнения”

1.  Определить тип дифференциальных уравнений первого порядка , найти общее решение:

§ xy' +2 y = cos x ;

§ x dy - y dx = dx;

§ y' cos x+ y sin x = 1.

2.  Найти общее решение и частное решение, удовлетворяющее начальным данным,

для дифференциального уравнения:

y''   +4 y + 4 y =  x²e ^{3 x}  ; y' (0) = 8,    y (0)= 1.

3.    Найти общее решение для дифференциального уравнения:

y y''   + y²  =  0.

3.  Найти общее решение системы дифференциальных уравнений: