Столкновение частиц. Сечение рассеяния. Эффективное сечение столкновений

Лекция №5

 Столкновение частиц. Сечение рассеяния. Эффективное сечение столкновений.

          Определение сечений столкновения естественным образом связано с рассмотрением самого процесса столкновений частиц. Для не слишком плотного газа (р≤100 атм) вероятность трехчастичных столкновений много меньше двухчастичных и ниже мы будем рассматривать только парные столкновения.

В основе процессов столкновений лежит взаимодействие молекул друг с другом. Хорошо известно, что две молекулы притягиваются друг к другу, когда они удалены друг от друга и отталкиваются при сближении на достаточно близкое расстояние. Силы взаимодействия между молекулами являются функцией межмолекулярного расстояния r. В большинстве случаев удобнее пользоваться потенциальной энергией взаимодействия , нежели силой взаимодействия . Эти функции связаны между собой простым соотношением . Рассмотрим пространственное движение двух взаимодействующих частиц (рис.5.1) с массами  и  соответственно, которое подчинено уравнениям Ньютона

                     (5.1).

Умножим первое уравнение на m₂, второе на m₁ и вычтем  первое из второго. В результате получим:

               (5.2),

то есть задача о движении двух частиц свелась к задаче о движении одной частицы, с приведенной массой m в центральном поле с потенциалом .

При движении частицы с массой m в центральном поле сохраняется момент количества движения  относительно центра поля, следовательно, движение частицы происходит в одной плоскости. Введем в этой плоскости полярную систему координат (рис. 5.2): Уравнение сохранения момента количества движения и энергии примут вид

                                                                                     (5.3),

(5.4),

                                                               (5.5),

где v₀ – скорость налетающей частицы, b – прицельный параметр. Исключая из (5.3) время с помощью (5.4) и интегрируя, получим:

(5.6).

Обычно интересуются углом отклонения

                                                                                            (5.7),

где ; r_min– соответствует минимуму потенциальной энергии.

Для молекул со степенным законом взаимодействия U = получим:

,                                       (5.8),

где:  и  определяется из уравнения .

Уравнение (5.7) (и соответственно (5.8)) задает связь угла отклонения c от прицельного параметра b и скорости налетающей частицы v₀. Часто процесс рассеяния характеризуют эффективным сечением рассеяния. Рассмотрим молекулы, пролетающие через кольцо, лежащие между кругами b и b + db в плоскости перпендикулярной относительной скорости v₀. Все эти молекулы рассеиваются в интервал углов между c и c + dc, или в телесный угол . Предположим, что c и b однозначно связаны соотношениями (5.7) или (5.8). Дифференциальным эффективным сечением называют площадь кольца, приходящегося на единицу телесного угла W то есть , и .

Полное эффективное сечение равно:

                    (5.9),

где b_max – такое прицельное расстояние, что при b ≥ b_max потенциал U = 0. Молекулы, у которых b_max конечно, называются молекулами с конечным радиусом действия. Этому условию удовлетворяют только твердые шары.

В то же время в результате столкновений часто остается конечным изменение импульса, энергии и других величин. Например, изменение продольного импульса молекулы в системе центра инерции равно . В качестве осредненной характеристики изменения импульса вводят эффективное сечение:

                       (5.10),

часто называемое транспортным сечением. Для твердых сфер s⁽¹⁾=pd². Для молекул со степенным законом взаимодействия из (5.8) и (5.10) следует:  А¹(s), где А¹(s) определяются путем численного

интегрирования и приведены в таблице. Важно отметить, что молекулу нельзя охарактеризовать каким-либо одним эффективным сечением, так как для различных видов взаимодействия (по отношению к изменению импульса, энергии и т.д.) они различны, однако поскольку все они имеют один порядок, то при качественных рассмотрениях часто можно говорить просто об эффективном сечении данной молекулы.

Потенциалы взаимодействия.

Определение потенциалов для сил, с учетом сложной структуры молекул, межъядерных взаимодействий с учетом электронных оболочек, представляет значительные трудности, и на практике обычно пользуются модельными, эмпирическими и полуэмпирическими законами взаимодействия. При выборе межмолекулярного потенциала для расчета различных величин необходимо иметь в виду два фактора: степень требуемого приближения к действительности и вычислительные трудности, связанные с использованием той или иной функции.

1. Твердые непроницаемые сферы (упругие шары)

- диаметр сферы.