Обобщенные координаты, принцип возможных перемещений, обобщенные силы, страница 3

Пример 3.

Левый конец вала зафиксирован в стенке (жесткая заделка), правый конец может свободно вращаться в подшипнике. С валом жестко скреплены три диска. Диски могут совершать поворот относительно оси вала, то есть участки вала испытывают упругую деформацию закручивания (коэффициент жесткости вала на упругое закручивание – с). Определить обобщенные силы системы.

            Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы поворота дисков относительно оси вала j₁, j₂ и j₃ (диски совершают повороты относительно оси, лежащей в плоскости рисунка). Если диски повернутся на углы j₁, j₂ и j₃, то участок вала I будет закручен на угол j₁, участок вала II – на угол j₂ - j₁, участок вала III – на угол j₃ - j₂. Участок вала IV закручен не будет, так как правый конец вала свободно вращается в подшипнике. Потенциальная энергия системы сосредоточена в упруго-закрученных участках вала I, II, III и описывается следующим выражением:

;

            Получим обобщенные силы системы:

;

;

;

Пример 4.

На цилиндр радиуса a намотана нить, к свободному концу которой прикреплен точечный груз массы m. Длина нити в состоянии равновесия системы равна l. Груз может совершать колебательное движение в плоскости рисунка. Определить обобщенную силу системы.     Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол q (угол отклонения нити от вертикали). Потенциальная энергия груза определяется выражением:

            Тогда обобщенная сила будет иметь вид:

§3.18 Уравнения Лагранжа 2-го рода

            Предположим теперь, что для движения точки по линии (см. §3.16) уравнения связей f₁(x,y,z)=0 и f₂(x,y,z)=0 удовлетворяются тождественно по отношению к t и q (обобщенная криволинейная координата – длина дуги, пройденного точкой по линии) соотношениями:

x=x(q,t),          y=y(q,t),          z=z(q,t);          (3.18.1)

            На эти уравнения можно смотреть как на параметрическое представление уравнений связей, наложенных на точку. Дифференцируя при этом предположении уравнения связей f₁(x,y,z)=0 и f₂(x,y,z)=0 по параметру q, будем иметь:

;         (3.18.2)

            Умножая (3.16.1) соответственно на  и складывая, будем иметь в силу (3.18.2):

;       (3.18.3)

            Правая часть этого выражения – определенная в §3.17 (ф.3.17.1) обобщенная сила. Наша задача заключается в преобразовании левой части (3.18.3) с целью полностью перейти к обобщенной координате q.

            Рассмотрим производную по времени от координаты x имея в виду, что она в соответствии с (3.18.1) является функцией q:

;     (3.18.4)

            Взяв от (3.18.4) частную производную по  найдем:

;        (3.18.5)

            Также, взяв частную производную от (3.18.4) по независимой обобщенной координате q найдем:

, то есть

;            (3.18.6)

            Соотношения, аналогичные (3.18.5) и (3.18.6), можно, очевидно, также получить для координат y и z.

            Левую часть выражения (3.18.3) можно представить в виде:

;

            Здесь применена формула для дифференцирования произведения функций: . Используя теперь (3.18.5) и (3.18.6) этот результат можно переписать в виде:

;

            где T обозначает кинетическую энергию точки .