Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста [1].

Передаточная функция разомкнутой системы:

.

Причём степень числителя не может быть больше степени знаменателя, .

Частотная передаточная функция получается при подстановке :

.

Уточним смысл частотной передаточной функции. Система управления в разомкнутом состоянии:

.

Если на вход звена  подать гармонический сигнал ошибки  с амплитудой , то в установившемся режиме величина  на выходе будет также изменяться по гармоническому закону с амплитудой  и фазовым сдвигом . Модуль частотной передаточной характеристики представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин

,

а аргумент – сдвиг фазы .

          Если изменять частоту входного сигнала от  до  и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (АФХ).

В реальных системах всегда . Поэтому при , модуль частотной передаточной функции стремится к нулю и соответствующая точка попадает в начало координат.

Сформулируем необходимые и достаточные требования к АФХ разомкнутой системы, при выполнении которых система будет устойчивой в замкнутом состоянии.

Статическая система.

Рассмотрим вначале статическую систему, т.е. такую, знаменатель передаточной функции которой  не имеет в качестве сомножителя оператор p. Кроме того, рассмотрим пока только устойчивые в разомкнутом состоянии системы, т.е. такие, полюсы  которых (иначе – нули ) лежат в левой полуплоскости.

Введём вспомогательную функцию (заметим, что это знаменатель передаточной функции замкнутой системы)

.

Числитель  является знаменателем передаточной функции замкнутой системы и, в силу этого, представляет собой характеристический полином замкнутой системы. Соответствующий характеристический комплекс:

.

Результирующий угол поворота вектора  при изменении частоты от  до

,

так как устойчивы замкнутая и разомкнутая системы (все корни уравнения  и уравнения  лежат в левой полуплоскости) – критерий Михайлова.

          Итак, если система с передаточной функцией  устойчива в замкнутом состоянии, то годограф  не охватывает начало координат (необходимость). И наоборот, если годограф  не охватывает начало координат, или, что то же самое, годограф  не охватывает точку с координатами (), то система устойчива в замкнутом состоянии (достаточность).

 

          Доказательство достаточности.

          Коль скоро , и нули  лежат в левой полуплоскости, то . Таким образом, согласно критерию Михайлова, все нули  лежат в левой полуплоскости, т.е. замкнутая система устойчива.

          Различают случаи абсолютно устойчивой системы, условно устойчивой системы, случай нахождения системы на границе устойчивости (колебательная устойчивость) и случай неустойчивой системы.

Абсолютно устойчивая система остаётся устойчивой при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи.      Условно устойчивая система будет устойчивой при изменении коэффициента усиления в определённых пределах.

          Если система находится на границе устойчивости, то это будет устойчивость колебательного типа. В самом деле, коль скоро при некоторой частоте годограф пересекает точку с координатами (), то

, или .

Т.е. чисто мнимый корень является решением характеристического уравнения.

Система с астатизмом первого порядка.

.

Пусть все нули знаменателя (кроме ) лежат в левой полуплоскости. Т.е. в разомкнутом состоянии система является нейтрально устойчивой.

          Амплитудно-фазовая характеристика имеет разрыв в точке . Модуль стремится к бесконечности, а фаза испытывает скачок на . При изменении частоты от  до  изображающая точка движется снизу вверх по мнимой оси.

Для получения определённости в ходе амплитудно-фазовой характеристики необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции  либо к левой, либо к правой полуплоскости корней. Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя  будут расположены в левой полуплоскости [1, с.154].

Обойдём нашу точку справа по полуокружности бесконечно малого радиуса. При этом передаточная функция

.

Здесь , а аргумент () меняется в пределах от  до .

          Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный  (от  до ), что соответствует полуокружности бесконечно большого радиуса. Характеристика не охватывает точку (), и система в замкнутом состоянии будет устойчивой.

          В принципе такая система может быть абсолютно, условно или колебательно устойчивой, а также неустойчивой.

Система с астатизмом второго порядка.

.

          При обходе двойного нулевого корня в начале координат передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена вектором бесконечно большой длины, поворачивающимся по часовой стрелке на угол .

Такая система также может быть абсолютно, условно или колебательно устойчивой, а также неустойчивой.

          В принципе, для определения устойчивости системы с астатизмом любого порядка, достаточно построить ветвь амплитудно-фазовой характеристики только для положительных частот, дополнив её окружностью бесконечно большого радиуса, как это изображено на рисунке ниже.

Из рисунка, в частности, следует, что абсолютная устойчивость может быть получена при степени астатизма . При большей степени астатизма может быть получена только условная устойчивость.

Критерий Найквиста в общем случае.

Пусть знаменатель  передаточной функции разомкнутой системы  с любой степенью астатизма содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе. Возможные причины неустойчивости: наличие неустойчивых звеньев или звеньев неустойчивых вследствие внутренней обратной связи.

Замкнутая система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. При этом несколько меняется критерий Найквиста: замкнутая система будет устойчивой, если при изменении частоты от  до  результирующий угол поворота годографа вектора  относительно точки () будет равен , где l – число корней полинома  лежащих в правой полуплоскости.

          Для доказательства введём вспомогательную функцию (заметим, что это знаменатель передаточной функции замкнутой системы)

.

Таким образом, числитель  – характеристический полином замкнутой системы. Соответствующий характеристический комплекс:

.

Если система устойчива в замкнутом состоянии, то результирующий угол поворота вектора  при изменении частоты от  до

.

Иначе, годограф  l раз обойдёт точку () против часовой стрелки.

Для того чтобы воспользоваться этим критерием, необходимо знать, сколько корней у знаменателя передаточной функции лежат в правой полуплоскости. Для этого прежде надо исследовать соответствующий полином .

Хотя теоретически система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным.