Классификация сил. Динамика материальной точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки

,

§3.1 Классификация сил. Динамика материальной точки.

            Силу оценивают по движению, которое она вызывает или стремится вызвать в рассматриваемой системе координат, которую мы условились считать неподвижной (инерциальной).

а) Потенциальные силы – силы, которые могут быть выражены через некоторую скалярную функцию от положения точки, называемой потенциальной энергией.

               Работа на конечном перещении точки из положения  в положение  равна определенному интегралу

,

т.е. не зависит от формы траектории, является только функцией начального и конечного положения.

б)  Гироскопические силы - линейно зависят от скорости точки и всегда направлены перпендикулярно этой скорости, работа гироскопических сил, очевидно,  равна нулю (примеры – сила инерции Кориолиса, магнитная часть силы Лоренца).

в) Диссипативные силы  - направлены всегда противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение.

,

где k– положительная скалярная функция, которая может зависеть от положения и скорости тела. Очевидно, что A(F^d) < 0 – работа диссипативных сил (сил сопротивления) отрицательна.

            Вся динамика построена на предположении о том, что в природе существуют инерциальные системы отсчета (ИСО) (неподвижные или движущиеся равномерно и прямолинейно).

Законы Ньютона

1. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на тело силы не заставят его изменить движение (причиной изменения движения является сила).

2. Ускорение пропорционально приложенной силе и направлено по прямой, по которой действует сила:  (количественная мера действия силы)

3. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению  (сила всегда имеет материальный источник, который испытывает обратное  действие объекта, к которому приложена сила)

            Динамика является наукой об ускоряющих силах и о тех движениях, которые эти ускоряющие силы могут вызвать.

Из второго закона Ньютона следует

            Сила  может быть функцией . Эти три дифференциальных уравнения 2^го порядка имеют общее решение, зависящее от шести произвольных постоянных, определяемых из начальных условий.

Аксиома о суперпозиции сил.

            При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно ИСО от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

            Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки:

;

;

;

            Все это справедливо для небольших скоростей.

Размерностью силы является в системе СИ ньютон ([F]=н). Сила в 1н равна силе, сообщающей телу массой 1 кг ускорение, равное 1 м/с².

§3.2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки.

- равнодействующая,

Декартова система координат:

Естественная система координат:

Второе уравнение можно преобразовать:

Получаем для естественной системы координат:

Первая (прямая) задача динамики точки: зная массу точки и ее закон движения, можно

найти действующую на точку силу.

            Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

Пример:       x=aCoskt;  y=bSinkt, точка массы m.

 - эллипс с полуосями a, b

F_x= -mk²aCoskt;   F_y= -mk²bSinkt  или  F_x= -mk²x; F_y= -mk²y

 (r-радиус-вектор точки)

Косинусы углов силы F с осями координат:

 

            Отсюда можно заключить, что сила F имеет направление, противоположное вектору r.

Окончательно

Вторая (обратная) задача динамики точки: по заданной массе и действующей на точку

силе необходимо определить движение (закон движения) точки,

В некоторых случаях силы могут зависеть и от ускорений.

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение системы содержит шесть произвольных постоянных С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆.

            Каждая из координат x,y,z движущейся точки после интегрирования системы зависит от времени и всех шести постоянных

x=f₁(t, С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆); y=f₂(t, С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆); z=f₃(t, С₁,C₂,C₃,C₄,C₅,C₆)

            Если продифференцировать решения, то для скоростей будем иметь:

            Таким образом, действующая сила однозначно определяет только ускорение точки и задает целый класс движений, траектории которых и скорости зависят от начального положения и скорости.

            Для определения конкретного вида движения необходимо задать начальные условия:

 в некоторый момент времени t₀ (t=0).

Используя эти условия, получаем шесть уравнений для определения произвольных постоянных:

            Начальные условия определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений.

            При движении точки в плоскости Oxy имеется два дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий:

            Для прямолинейного движения имеется только одно уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений в общем случае является довольно трудной. Даже для одномерного случая решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной зависимости силы от t, x и v.