Интегрируемость в квадратурах. Линейные уравнения высших порядков

точки, определяемое этим уравнением. Задача Коши заключается в определении движения, удовлетворяющего начальным условиям:  при , где числа  и  (начальные данные) есть соответственно начальный момент времени, начальная координата и проекция скорости в (начальный) момент времени .

Пример 1. Показать, что  есть общее решение дифференциального уравнения .

Решение. 1. Покажем, что   удовлетворяет данному уравнению при любых . Имеем . 2. Пусть заданы произвольные начальные условия , .  Покажем, что постоянные  можно подобрать так, что эти начальные условия будут удовлетворены. Составим систему:  из которой однозначно определяются . Таким образом,  решение  удовлетворяет поставленным начальным условиям. Заметим, что запись  означает, что решение задачи записано в форме Коши.

Пример 2. Найти область существования и единственности решения уравнения .

Решение. Функция  и ее частная производная  непрерывны при , то есть данное уравнение имеет единственное решение при .

10.5.2. Интегрируемость в квадратурах

          Уравнение n-го порядка во многих случаях удается проинтегрировать в квадратурах путем предварительного сведения его к уравнению более низкого порядка или при помощи нахождения промежуточных интегралов

                                                                          (5.7)

- соотношений, получаемых в результате интегрирования исходного уравнения (такое соотношение называется промежуточным интегралом k-го порядка дифференциального уравнения (1.2)). Ниже рассматриваются дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка не только в форме (1.2), но и в общем виде (1.1).

1)         Уравнения вида

Общее решение уравнения вида

                                                                                                              (5.8)

получается путем n – кратного интегрирования:

     ,             (5.9)

или по формуле

                                                                 (5.9¢)

Пример 1. Найти общее решение уравнения  и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Интегрируем это уравнение последовательно три раза:

  . Найдем решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Подставляя начальные данные в , получим систему для определения произвольных постоянных:   , откуда  . Искомое решение

2)         Уравнение, не содержащее искомой функции и

 последовательных k-1 первых производных

          Уравнение вида

                                                                (5.10)

подстановкой приводится к уравнению (n-k)-го порядка . Если удается получить общее решение последнего уравнения в виде   (получить промежуточный интеграл k-го порядка исходного уравнения (5.10)), то задача нахождения решения сводится к задаче (5.8), решение которой дано в  п.10.5.2 .

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Уравнение не содержит y и . Положим ; уравнение принимает вид  или . Это линейное уравнение первого порядка. Его общее решение . Используя начальное условие , находим  и, следовательно, , откуда . Начальное условие  позволяет определить . Интегрируя еще раз, получаем , и из условия  следует, что . Искомое частное решение .

Пример 3. Найти решения уравнения , удовлетворяющие начальным условиям: а)  при x = 0; б)  при x = 0.

Решение. Интегрируем уравнение: , , , , ,       . Следовательно, уравнение имеет общее решение  и семейство особых решений .

          Найдем решения поставленных задач Коши: а) воспользуемся общим решением. Имеем  (*). Полагая здесь , получаем систему уравнений для определения произвольных постоянных:  откуда  Подставляя эти значения  и  в (*), найдем два решения:  и . Других решений нет, так как ни одно из особых решений не удовлетворяет рассматриваемым начальным условиям; б) подставляя в систему (*) начальные данные , получаем:  , откуда  и . Из особых решений y = x удовлетворяет рассматриваемым начальным данным.