Динамика решётки. Колебания одномерной одноатомной цепочки. Теплоёмкость твёрдых тел. Модель Эйнштейна, страница 5

Тепловое расширение кристаллов.

При изменении температуры кристаллы расширяются или сжимаются. Количественной

характеристикой этих процессов является объемный коэфф. расширения . Обычно a>0,

однако существует целый ряд с отрицательным значением a ( висмут, чугун, вода при 0°<Т<4°с).объём при некоторой температуре равен

        (1)

Можно ввести в рассмотрение и линейный коэффициент расширения  При конечной температуре.

т.е.                 (2)

в случае анизотропных сред (монокристаллы) a является тензором второго ранга. Он может быть приведён к главным осям, тогда а= а₁+ а₂ +а₃. Для кубических кристаллов a₁=a₂=a₃ и мы приходим к (2). Обозначим

 - сжимаемость. Тогда для связи a,b с теплоёмкостью существует соотношение Грюнейзена 

где Cv - теплоёмкость, g - постоянная Грюнейзена, значение которой »2 (у NaCI ==1.63 у Cu==1.96) для получения выражения a через микроскопические постоянные запишем выражение для потенциала межатомного взаимодействия с точностью до членов третьего порядка

(3)

где         а  x -  отклонение положения равновесия при Т=0.Производная от (3) по x равна силе, действующей на атом. Усредняя её и приравнивая к нулю получим

      (4)

далее используем тот факт, что средняя потенциальная энергия осциллятора равна

                 (5)

отсюда получаем . Найдём относительное удлинение цепочки атомов.

тогда    (6)

по порядку величины a_е составляет ~10^-5 град^-1. Например (a_е)_Ni=1.3·10^-5

Теплопроводность

Теплопроводность кристаллов обусловлена в основном двумя факторами – решёточная и электронная составляющая

                     א=C₁אреш+С2אэл

при описании решёточной теплопроводности используют понятие фонон – фононного взаимодействия. При таких процессах возможны рождение и уничтожение фононов. При этом выполняются законы сохранения энергии и квазиимпульса с точностью до вектора обратной решётки.

+= +

Если в последнем уравнении вектор обратной решётки  равен нулю то имеем дело с N – процессом, в противном случае с U- процессом. Последний также называют процессом переброса. Суммарный в.в. выходит за рамки первой зоны Брилмоэна . Перенос его конца на вектор   даёт  

  в.в. , направленный против исходных  векторов.

Процесс переноса тепла рассматривается с позиций переноса его в газе,

Частицами которого являются фононы

Тогда

א=

где С – теплоёмкость ,- скорость звука, l – длина свободного пробега .

При высоких температурах l определяется

Процессами рассеяния фононов на фононах и а~1/T , следовательно, т.к. в этом интервале С=const имеем א~1/T . При температурах Т<  уже а~exp(/T), א имеем такой же ход. Величина  обычно в 2¸4 раза меньше -температуры Дебоя. При очень низких температурах С~T³ , а l имеем постоянную величину которая связана лишь с рассеянием на дефектах. Т.о. ход зависимости א(Т) не монотонен и имеет максимум при температуре »(1/20¸1/25)

Кроме рассеяния на фононах, фрононы могут рассеиваться на дефектах :

1.  точечных

2.  линейных

3.  границах зёрен в поли кристаллах и внешних поверхностях в монокристаллах.

4.  Раз упорядочения в сплавах

5.  Случайном распределения изотопов хим. элементов.

Электронная составляющая  в теплопроводности особенно велика в металлах»95. Это объясняется большёй ролью электронов в процессах переноса. Т.к. электроны имеют заряд, то процессы теплопереноса   и электропереноса тесно связаны.

Закон Видемона-Франца гласит, что при постоянной температуре отношение теплопроводности к электропроводности различных металлов постоянно. Лоренц показал, что

  

где s электропроводность , L – число Лоренца. Квантовая теория даёт выражение для L