Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Сплайни (Звіт до лабораторної роботи № 6)

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Звіт

до лабораторної роботи №6

з предмету «Чисельні методи»

на тему

«Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Сплайни.»

Варіант № 9

Підготував:

Студент групи ІН-71

Конопленко А.В.

Перевірила:

Назаренко Л.Д.

Суми 2009

1.  Умова задачі

Завдання 6 Для функції  y=f(x), що задана таблично, побудувати інтерполяційний многочлен і  сплайн. Обчислити в заданій точці  x^* значення функції і встановити, якою з інтерполюючих функцій доцільніше скористатися.

Таблиця 6.1

Номер вар.	Значення	x*
9	x        0            1           2             3             4	2,5
	y        2           6          14            38          90

2.  Обґрунтування алгоритму.

2.1 Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Інтерполяційний многочлен Лагранжа, що набуває у вузлах інтерполяції  відповідно значень  має вигляд

         

2.2 Сплайни.

Кубічний сплайн є найкращою з функцій, що інтерполюють задану функцію.

Отже, якщо  (), , то кубічний сплайн на цьому відрізку

Тут  .

  Якщо відомо

, то відповідна система рівнянь

                      (5.29)

Якщо є можливість вибору між граничними (крайовими) умовами 1-го та 2-го типу, то перевагу слід надати умовам 1-го типу.

         У випадку, коли ніякої додаткової інформації про поведінку апроксимованої функції нема, часто використовують так звані природні граничні (крайові) умови .

3.  текст програми.

program spline_legrange;

uses wincrt;

const eps=0.0001;

      n=5;

      h=1;

type mas=array[1..n]of real;

var m,m1,b,d,summ,x,y:mas;

    i,j,l:integer;

    norm,Mm,Delta,x0,splin,s1,s2,z:real;

    A,C:array[1..n,1..n]of real;

procedure lagrange(y,x:mas;x0:real;var z:real);

var i,j:integer;

    g,f:real;

begin

for i:=1 to 5 do

begin

f:=1;

g:=1;

for j:=1 to 5 do

begin

if (i<>j) then

begin

f:=f*(x0-x[j]);

 g:=g*(x[i]-x[j]);

 end;

end;

z:=z+f*y[i]/g;

end;

end;

function zeidel1(x:mas):real;

begin

zeidel1:=C[1,2]*x[2]+C[1,3]*x[3]+C[1,4]*x[4]+C[1,5]*x[5]+D[1]

end;

function zeidel2(x:mas):real;

begin

zeidel2:=C[2,1]*x[1]+C[2,3]*x[3]+C[2,4]*x[4]+C[2,5]*x[5]+D[2]

end;

function zeidel3(x:mas):real;

begin

zeidel3:=C[3,1]*x[1]+C[3,2]*x[2]+C[3,4]*x[4]+C[3,5]*x[5]+D[3]

end;

function zeidel4(x:mas):real;

begin

zeidel4:=C[4,1]*x[1]+C[4,2]*x[2]+C[4,3]*x[3]+C[4,5]*x[5]+D[4]

end;

function zeidel5(x:mas):real;

begin

zeidel5:=C[5,1]*x[1]+C[5,2]*x[2]+C[5,3]*x[3]+C[5,4]*x[4]+D[5]

end;

{max norma}

function max(x,x1:mas):real;

var s:real;

begin s:=abs(x[1]-x1[1]);

     for i:=2 to 5 do   if abs(x[i]-x1[i])>s then s:=abs(x[i]-x1[i]);

max:=s;

end;

{--------}

begin

 writeln('   vvedite to4ky:');

 write('x=');

readln(x0);

x[1]:=0; x[2]:=1; x[3]:=2; x[4]:=3; x[5]:=4;

y[1]:=2;y[2]:=6;y[3]:=14;y[4]:=38;y[5]:=90;

a[1,1]:=2; a[1,2]:=1;  for i:=3 to n do a[1,i]:=0;

a[2,1]:=1; a[2,2]:=4; a[2,3]:=1; a[2,4]:=0; a[2,5]:=0;

a[3,1]:=0; a[3,2]:=1; a[3,3]:=4; a[3,4]:=1; a[3,5]:=0;

a[4,1]:=0; a[4,2]:=0; a[4,3]:=1; a[4,4]:=4; a[4,5]:=1;

for i:=1 to 3 do a[5,i]:=0; a[5,4]:=1; a[5,5]:=2;

b[1]:=9;  b[2]:=42; b[3]:=108; b[4]:=210; b[5]:=135;

   for i:=1 to n do

     for j:=1 to n do

       begin

         if (i=j) then c[i,j]:=0

         else c[i,j]:=-a[i,j]/a[i,i];

       end;

   for i:=1 to n do

   d[i]:=b[i]/a[i,i];

   Mm:=0;

  for i:=1 to n do

    begin

     if (abs(C[i,1])+abs(C[i,2])+abs(c[i,3])+abs(c[i,4]))>Mm

     then Mm:=abs(c[i,1])+abs(c[i,2])+abs(c[i,3])+abs(c[i,4]);

    end;

  norm:=Mm;

      Delta:=(1-norm)*eps/norm;

      for i:=1 to n do

      m[i]:=1;

repeat

 for i:=1 to n do

  begin

      m1[i]:=m[i];

  end;

m[1]:=zeidel1(m);

m[2]:=zeidel2(m);

m[3]:=zeidel3(m);

m[4]:=zeidel4(m);

m[5]:=zeidel5(m);

until max(m,m1)<delta;

for i:=1 to 4 do

if ((x0>x[i])or(x0=x[i])) and ((x0<x[i+1])or(x0=x[i+1])) then l:=i;

s1:=(sqr(x[l+1]-x0)*(2*(x0-x[l])+h)*y[l]+sqr(x0-x[l])*(2*(x[l+1]-x0)+h)*y[l+1])/h*h*h;

s2:=(sqr(x[l+1]-x0)*(x0-x[l])*m[l]+sqr(x0-x[l])*(x0-x[l+1])*m[l+1])/h*h;

splin:=s1+s2;

writeln('   spline:');

writeln('S(x)=',splin:1:4);

lagrange(y,x,x0,z);

writeln('   polinom Lagranga:');

writeln('L(x)=',z:2:4);

end.