Ігри двох осіб з довільною сумою

3. ІГРИ ДВОХ ОСІБ З ДОВІЛЬНОЮ СУМОЮ

Все суєта суєт та ловля вітру.

(Соломон)

            Клас неантагоністичних ігор двох осіб з довільною сумою значно ширше класу антагоністичних ігор, потребує для розв’язку конфліктних ситуацій більшого різноманіття математичних моделей, а значить, збільшує труднощі в розрахунках. Але дослідження та ідеї попередніх розділів залишаються основоположними й при розробці нових моделей гри, потребуючи лише подальшого розкриття застосувань.

3.1 Основні означення, теореми, математичні моделі

біматричної гри

Розглянемо скінчену безкоаліційну гру  для двох осіб. Зазвичай в такій грі задають дві матриці однакового розміру виграшів першого і другого гравців. Строки цих матриць відповідають стратегіям першого гравця, а стовпці матриць - стратегіям другого гравця . При цьому в першій матриці представлені виграші першого гравця, а в другій матриці - виграші другого.

Означення 3.1. Гра, що задається сукупністю об’єктів де X, Y – непусті множини і функції , називається біматричною грою. Елементи називаються стратегіями гравців 1 і 2, елементи декартового добутку - ситуаціями, функції K_Х, К_Y – функціями виграшів гравців 1 та 2 відповідно.

Відзначимо, що антагоністична гра, модель якої представлена в попередніх параграфах, є спеціальним видом біматричних ігор для якої K_Х  = - К_Y. В загальному разі біматрична гра – це гра з ненульовою сумою і кожний гравець одержує в ній свій приз (максимізує виграш). Вважаємо, що виграш є дійсним числом, яке показує ступінь досягнення бажаного результату.

          Так як матриці виграшів гравців одного порядку (m×n), то біматричну гру представимо однією матрицю (таблицею), кожний елемент якої складається з двох чисел, розділених комою, перше з яких показує виграш першого гравця, друге – другого

.     (3.1)

          Наприклад, змодельована в попередньому «Дилема ув’яз-нених» (прикл.1.3) має матрицю гри

		В1	В2
		зізнатись	не зізнатись
А1	зізнатись	5 років, 5 років	3 місяці, 9 років
А2	не зізнатись	9 років, 3 місяці	1 рік, 1 рік

          У кожного гравця цієї дилеми маємо по дві стратегії і кожна ситуація гри приписує кожному з них число, що відображає ступінь задоволення його інтересів в цій ситуації (наприклад ситуація (А₁,В₁) принесе результат першому гравцеві 5 років і другому гравцеві теж  5 років)). Щоправда, «виграшем» будь який результат в цій грі назвати важко.

          При дослідженнях біматричних ігор постають ті ж самі питання теорії ігор: які оптимальні стратегії гравці повинні обрати в грі і які виграші при цьому вони одержать? І відразу постає ще одне питання – які розрахунки дадуть відповіді на поставленні вище питання? В пригоді знову стає поняття рівноваги.

          Відповімо на поставлені питання, не вдаючись до теоретичних міркувань, наступним чином – внаслідок того, що кожен з гравців прагне одержати максимальну корисність (виграш) в грі, потрібно побудувати таке (компромісне) рішення, яке в тому чи іншому змісті задовольнить обох гравців.

           Відмінність біматричних ігор від антагоністичних  полягає також в тому, що окрім рівноваги Неша (РН) та рівноваги в домінуючих стратегіях, в цих іграх можливі ще рівновага Парето (РП) та рівновага Штакельберга (РШ). Слід додати, що і рівноваг Неша в біматричній грі може бути декілька, що приводить до додаткових труднощів в виборі оптимальних рішень. І наостанок, хоча біматрична гра відноситься до класу безкоаліційних ігор, в деяких моделях виникає спокуса укладання між гравцями угод щодо вибору ситуацій в грі з додатковим розподілом між собою виграшів ( щось на зразок коаліційних угод), або узгодження між собою дій без додаткових платежів ( при декількох РН в грі). Якщо ж перемовини між гравцями неможливі або заборонені, то кожний гравець грає на свій розсуд та спираючись на інформацію, що йому відома. Іноді в такій ситуації діє принцип «невидимої руки Адама Сміта», що заспокоює суспільство в тому, що це може бути для нього і краще, ніж гравці мають право на домовленість.

Означення 3.2. Принцип «невидимої руки Адама Сміта». «Вільний ринок», незважаючи на те, що кожен з «ринкових агентів» максимізує власний прибуток, сприяє росту в цілому суспільного багатства, підвищує ефективність виробництва.

          Основне призначення цього принципу – економіка, але його можна віднести з деякою долею скептизму і до теорії ігор.

3.2 Види рівноваги та алгоритми їх пошуку

          Перейдемо до алгоритмів пошуку різного виду рівноваги.

Основна ідея пошуку залишається незмінною – потрібно знайти таку ситуацію гри, яку жодному гравцеві невигідно залишати. Зауваження. Принциповою відмінністю біматричних ігор є відсутність в них антагонізму, тому навіть при наявності рівноваги між гравцями існує реальна основа різного виду домовленості.

          3.2.1 Рівновага Неша

Принципи пошуку РН залишаються незмінними, та й визначення РН має такий самий зміст, як представлений раніше.