Побудова інтервального варіаційного ряду розподілу, гістограми, емпіричної функції розподілу для вибірки об’єму n = 40. Пошук значення дисперсії, за якою ймовірність буде найбільшою

Варіант 7

ЗАДАЧА 1

Отримана вибірка об’єму :

          7,  1,  4+m,  3,  2+k,  16+2,  15+n,  4,  1,  1, 3+k,  5, 

          5,  6,  6,  6,  1,  5+m,  3+n,  14+2m,  2,  2, 7,  7,  7,  4,  4, 

          3,  1,  2+p, 6,  8, 4,  15+3p, 1+k, 1+m,  1+n,  5,  5,  3.

В задачі потрібно:

1. Побудувати:  інтервальний варіаційний ряд розподілу;  гістограму;  емпіричну функцію розподілу.

2. Знайти: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, середнє квадратичне відхилення, медіану і моду вибірки.

3. Оформити результати графічно.

Номер варіанта                               Параметри

7                    k = 1,      m = 1,      n = 2,      p = 0.

Розв’язання

Запишемо задану вибірку:

7, 1, 5, 3, 3, 16, 17, 4, 1, 1, 4, 5,

5, 6, 6, 6, 1, 6, 5, 17, 2, 2, 7, 7, 7, 4, 4,

3, 1, 2, 6, 8, 4, 15, 2, 2, 3, 5, 5, 3.

Упорядкуємо задану вивірку:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3,

4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6

7, 7, 7, 7, 8, 15, 16, 17, 17.

Залежність перерахованих характеристик від інтервалів ознаки називається інтервальним рядом розподілу, а її графічна інтерпретація – гістограмою розподілу.

Як характеристики розподілу об'єктів за інтервалами ознаки можуть застосовуватися частоти m_i; (в одиницях або штуках), частості р_i* (в кількості об'єктів, що доводяться на одиницю зміни ознаки).

Побудуємо інтервальний ряд розподілу:

Інтервал	1	2	3	4	5	6	7	8	15	16	17
Частота, mi	5	5	5	5	6	5	4	1	1	1	2

Побудуємо гістограму:

 Рис. 1. Гістограма

Емпірична функція розподілу - це функція розподілу реалізації даної випадкової величини, яка будується за результатами вимірювань.

Відмінність емпіричної функції розподілу від теоретичної полягає в тому, що теоретична функція розподілу визначає ймовірність події {X < х}, а емпірична функція визначає відносну частість цієї події.

Обчислюється за формулою:

,

.

Побудуємо емпіричну функцію розподілу:

 

Рис. 2. Емпірична функція розподілу

Середнє арифметичне ознаки X у генеральній сукупності називають генеральним середнім х, а його дисперсію - генеральною дисперсією а"².

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:

.

Підставимо наші значення у формулу:

Вибіркову дисперсію обчислюємо за формулою:

.

Обрахуємо вибіркову дисперсію для наших значень:

Середнє квадратичне відхилення, позначається як S або σ. — у теорії ймовірності і статистиці найбільш поширений показник розсіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою:

,

.

Медіану обчислюють за формулами:

,

якщо число – n парне;

,

якщо число n – непарне.

Тут беремо індекси в x_i згідно з нумерацією варіант у варіаційному ряді.

У нашому випадку n=40, тому

.

Мода – це варіанта, яка у варіаційному ряді трапляється найчастіше, тобто

.

ЗАДАЧА 2

Випадкова величина Х задана густиною розподілу ймовірностей:

Знайти: параметр A;функцію розподілу F(x);  математичне сподівання M[X];  дисперсію D[X];  ймовірність P(π/4≤X≤π). Роботу оформити графічно.

Розв’язання

Густина f(x) будь-якої випадкової величини невід'ємна, f(x) > 0, та має властивість

,

тобто ймовірність повної групи подій дорівнює одиниці.

Коефіцієнт А визначимо за допомогою формули про ймовірність повної групи подій

,

А=2.

Тоді випадкова величина Х задана густиною розподілу ймовірностей;

Рис. 3. Графік густини розподілу

Функція розподілу неперервної випадкової величини X виражається через її густину:

.

У випадку, коли x≤0,

.

У випадку, коли 0<x≤π/4,

У випадку, коли x<π/4,

Тоді функція розподілу буде мати вигляд:

.

Рис. 4. Графік функції розподілу

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X з густиною f(x) називається її середнє значення, що обчислюється за формулою

Дисперсія дорівнює математичному сподіванню квадрата випадкової величини мінус квадрат її математичного сподівання, і обчислюється за формулою:

.

Обчислимо спочатку M[X²] -  другий початковий момент:

Тепер обрахуємо дисперсію:

.

Знайдемо ймовірність P(π/4≤X≤π).

Якщо ймовірність влучення неперервної випадкової величини Х на ділянку від α до β визначається за формулою:

.

Для будь-якої  випадкової величини імовірність влучення випадкової величини на ділянку від α до β визначається за формулою:

,

.

ЗАДАЧА 3

Знайти ексцес експоненціального розподілу, прийнявши його параметр таким, що заданий. Оформити результат графічно.

Розв’язання

Випадкова величина X має показниковий (експоненціальний) розподіл, якщо її густина виражається формулою:

,

де λ – параметр показникового розподілу.

Ексцесом Ех випадкової величини X називається величина:

Число 3 віднімається з відношення μ⁴/σ_х⁴ в зв'язку з тим, що для надто важливого нормального закону відношення дорівнює трьом

Знайдемо ексцес для експоненціального розподілу.

Центральний момент обчислюється за формулою:

.

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини обчислюється за формулою:

.

Дисперсія обчислюється за формулою:

Математичне сподівання  обчислюється за формулою:

.

Обчислимо ексцес за заданою формулою.

.

.

.

Відповідь: ексцес експоненціального розподілу дорівнює 6.

ЗАДАЧА 4

Випадкова величина Z нормальна з нульовим математичним очікуванням і заданої дисперсії .

Знайти значення дисперсії, за якою ймовірність Pr{pZq} буде найбільшою (параметри p і q задані та позитивні, pq).

Розв’язування

Випадкова величина X має нормальний розподіл [або розподілена за нормальним законом (законом Гаусса)], якщо її густина

  -∞<x<∞.

Ряд нормальних розподілів залежить від двох параметрів: m та σ.

Для того, щоб побачити, яких значень набуває густина розподілу ймовірностей , при нульовому математичному очікуванні, побудуємо графік розподілу за законом Гаусса в Mathcad.

Ймовірність влучення неперервної випадкової величини Х на ділянку від α до β визначається за формулою:

Підставимо задані за умовою значення: m_x=0, σ

Для визначення екстремума функції, знайдемо похідну функції і прирівняємо її до 0.

;

.

Рис. 7. Графік залежності ймовірності Pr{pZq}  від дисперсії

Відповідь: Ймовірність буде зростати при наближенні дисперсії до нуля

ЗАДАЧА 5

Знайти коефіцієнт , характеристичну функцію випадкової величини X, яка має густину розподілу ймовірностей

,   ,

з заданими m – цілим та b – позитивним параметрами.

Розв’язування

Густина f(x) будь-якої випадкової величини невід’ємна ( f(x) > 0)  та має властивість:

,

тобто ймовірність  повної групи подій дорівнює одиниці.

Отже, коефіцієнт визначимо за допомогою формули ймовірності для повної групи подій.

          Використовуючи метод математичної індукції, обчислимо заданий інтеграл:

Знайдемо звідси А:

.

.

Характеристична функція має вигляд:

.

Підставимо в формулу нашу густину розподілу і знайдемо характеристичну функцію.

.

Відповідь: коефіцієнт , характеристична функція має вигляд .