Оценивание параметров и проверка статистических гипотез в случае выборок малого объема

Оценивание параметров и проверка статистических гипотез в случае выборок малого объема

1.1  Решение типового примера

С целью сравнения качественных и количественных показателей двух однотипных производственных процессов A и B проведены выборки  (x₁, x₂, …, x_n) и (y₁, y₂, …, y_n) объемов
n_x и n_y соответственно.

1. Для каждой выборки оценить математическое ожидание a и дисперсию ² путем: а) вычисления выборочных средних  и , исправленных выборочных дисперсий  и ; б) построения доверительных интервалов для математических ожиданий a_x и a_у и дисперсий  и  с надежностью γ = 0,95.

2. Допуская, что выборки (x₁, x₂, … , x_n) и (y₁, y₂, … , y_n) осуществлены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y с параметрами (a_x, σ_x) и (a_y, σ_y) соответственно, при уровне значимости α = 0,05: а) пользуясь критерием Фишера, проверить гипотезу  =  и установить, является ли один из производственных процессов эффективнее другого; б) пользуясь критерием Стьюдента, проверить гипотезу a_x = a_у и установить, можно ли считать распределение между средними  и  случайным, или оно является существенным и связано с различием производственных процессов.

В таблице приведены показатели производительности труда рабочего, изготавливающего на станке детали до (режим работы A) и после (режим работы B) усовершенствования обработки деталей.

Проведем количественное и качественное сравнение производительности труда рабочего для режимов работы А и В.

1 Оценивание неизвестных математических ожиданий и дисперсий

Точечной оценкой математического ожидания а генеральной совокупности является выборочная средняя. Выборочные средние  и  вычисляются по формулам:

.

Часто удобно пользоваться формулами

.

В данном случае имеем

Несмещенной оценкой дисперсии σ² генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия s². Значения  и  будем находить по формулам:

Поскольку при уменьшении всех данных выборки на одно и то же число значение дисперсии не изменяется, то уменьшая данные первой выборки на 38, а второй выборки
на 40, находим

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

Для нахождения доверительного интервала математического ожидания а генеральной совокупности необходимо представить а в виде

где  – точечная оценка а (среднее выборки); δ – точность оценки. Если выборка малого объема n, то точность оценки δ определяется формулой

.

Здесь s – выборочное среднее квадратическое отклонение;
 – квантиль распределения Стьюдента (приложение Г), вычислен­ный при уровне значимости α = 1 – γ и k = n – 1 степеней свободы.

Для старого режима работы А имеем:

Для нового режима работы В:

Следовательно, с надежностью γ = 0,95

,

т.е. доверительные интервалы для неизвестных математических ожиданий имеют вид .

Это означает, что с надежностью 95% при старом режиме обработки деталей рабочий мог изготавливать 40 или 41 деталей за смену. При новом режиме обработки деталей с надежностью 95% он может изготавливать уже 42 или 43 детали за смену. Видим, что произошло качественное изменение производительности труда.

Найдем теперь доверительные интервалы для генеральных дисперсий  и . Для дисперсии σ², генеральной совокупности доверительный интервал имеет вид

.

Здесь n – объем выборки; s² – оценка дисперсии σ²; и  – квантили распределения Пирсона (приложение Д), вычисленные при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n – 1.

Для старого режима работы А:

Для нового режима работы В:

Как видим, доверительные интервалы для генеральных дисперсий  и  пересекаются. Поэтому с надежностью 95% у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий ( = ). Это означает, что усовершенствование обработки деталей не приводит к повышению эффективности обработки.

2 Проверка статистических гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий

Эффективность производственного процесса зависит от порождаемой им дисперсии, характеризующей разброс в данных. Таким образом, для определения эффективности нового режима работы, связанного с усовершенствованием обработки деталей, необходимо сравнить генеральные дисперсии  и  по данным выборок производительности труда.

При сравнении двух дисперсий  и  выдвигают нулевую гипотезу Н₀:  = ; при конкурирующей Н₁:  ≠ . Если, по смыслу задачи, большей выборочной дисперсии () заведомо не может соответствовать меньшая генеральная дисперсия, т.е. неравенство  <  заведомо невозможно, то конкурирующая гипотеза приобретает вид Н₁:  > . В этом случае для проверки альтернативной гипотезы Н₁ используется односторонний критерий Фишера

.